Es el Subespacio Invariante Problema de aritmética?

Question

Subespacio invariante Conjetura: Un operador acotado en un espacio de Hilbert separable tiene un no-trivial cerrado subespacio invariante.

Puede esta conjetura ser reformulada como una media aritmética de la declaración, es decir, $\Pi^0_n$ declaración para algunos n? (Traté de entenderlo, pero no lo consiguió.)

EDIT: Por lo que yo entiendo por las respuestas, parece ser un problema abierto. Como Emil Jerabek y otros mencionados, la complejidad intrínseca de la conjetura (que se considera como una declaración en segundo orden de la aritmética) es $\Pi^1_2$. Aparentemente, ninguna reducción de la menor la complejidad es conocido. Uno puede especular acerca de la cantidad de una solución sería una reducción de la a $\Pi^1_1$ o $\Pi^0_n$, pero prefiero que no.

Carl Mummert señaló una posibilidad interesante: si la conjetura de sí mismo es cierto o no, su interpretación en computables análisis puede ser falsa. En este caso, si lo tengo a la derecha, la única manera de reducir su complejidad es de refutarla. Sin embargo, este obstáculo desaparecería si se nos permite el uso conjunto de teoría para demostrar la equivalencia, porque computable análisis no trabajo allí.

Gracias a todo el mundo.

Answer 1

A mí me parece también que la afirmación es, naturalmente, expresada por un $\Pi^1_2$ aserción de segundo orden de la teoría de números, como Emil había indicado. Me explico cómo uno puede ver esto.

El problema fundamental aquí es que la expresión natural de la instrucción en el lenguaje de la teoría de conjuntos que hace referencia directa a innumerables objetos, tales como el espacio y el operador y el cerrado subespacio, y por lo tanto, no puede ser puramente la aritmética ni siquiera proyectiva.

Pero el punto es que, no obstante, se puede utilizar la divisibilidad hipótesis para encontrar una traducción natural de la instrucción que trae el reino de segundo orden de la teoría de números, el contexto de gran parte de la inversa de las matemáticas, y de esta manera reducir la complejidad a $\Pi^1_2$.

Para ello, se debe traducir los conceptos básicos de separable espacio de Hilbert teoría de segundo orden de la teoría de números y desarrollar un poco de análisis en ese contexto. En particular, la única los objetos disponibles en este contexto son contables, y por lo tanto uno debe representar el espacio, el operador y los subespacios en última instancia, como contables de los objetos. Por ejemplo, uno puede representar el espacio por proporcionar información detallada acerca de los contables denso conjunto de como la métrica, la distancia en que se establece y el lineal de las operaciones; y uno de ellos representa a los operadores por su forma de actuar en ese subconjunto denso, y cerrado subespacios por sus proyecciones de ese conjunto, y así sucesivamente. Todo lo que en última instancia está representada por una contables cantidad de la información en este contexto.

Avigad y Simic ha escrito un hermoso relato precisamente realización de este proyecto:

• Jeremy Avigad y Ksenija Simic, nociones Fundamentales de análisis en los subsistemas de segundo orden aritmético, Ann. Pure Appl. La lógica 139 (2006), no. 1-3, 138--184.

Si usted mira allí (capítulo 9), encontrará lo que representan todo el espacio, y desarrollan la teoría básica de la real análisis en segundo orden, la teoría de números. Ya que ellos están interesados en el reverso aspecto matemático de la situación, usted verá que se preste atención a que, precisamente, el que los axiomas de segundo orden la teoría de los números uno de las necesidades a desarrollar los hechos básicos que uno quiere cuando trabajando con separables espacios de Hilbert. Cerrado subespacios son tratados en el capítulo 11.

Ahora, poniendo todo esto junto, uno mira a su declaración, que afirma:

• Para cada espacio de Hilbert separable y cada delimitada lineal operador, no es un trivial cerrado subespacio invariante.

Así que hemos universal cuantificadores, seguido por un existencial cuantificador, y cada uno de estos cuantificadores es la cuantificación sobre la espacio de contables de los objetos disponibles en el segundo número de la orden de de la teoría. Las propiedades de ser (el código) de un Hilbert separables espacio o una desenfrenada operador en un espacio de este tipo son en sí mismos la aritmética, y la codificación de estos conceptos en segundo orden la teoría de los números se arregla con eso en mente. Por lo tanto, en total, el la complejidad es $\forall\exists$ en el segundo número de la orden de la teoría, o en otras palabras, $\Pi^1_2$ en la proyectiva de la jerarquía, que por supuesto es un par de pasos más allá de la aritmética.

Esto es, por supuesto, una cota superior, ya que es posible que se podía encontrar a un inteligente equivalente formulación con la reducción de la de la complejidad.

Y mientras esto no hace que la afirmación de la aritmética, sin embargo el $\Pi^1_2$ nivel de complejidad significa que la afirmación será invariante por forzar, en la cuenta de la Shoenfield teorema de completitud.

Answer 2

He jugado con esto hace unos cuantos años en http://terrytao.wordpress.com/2010/06/29/finitary-consequences-of-the-invariant-subspace-problem/ ; en el lenguaje de la analítica de la jerarquía, yo estaba tratando de reducir la complejidad de la subespacio invariante problema de $\Pi^1_2$ a $\Pi^1_1$. Yo no acababa de tener éxito, porque no podía cuantificar universal sobre todos los de segundo orden de los objetos, pero uno puede en lugar de reformular el problema como una cuantificación universal de una operación aritmética sentencia sobre todos los "obstáculos" (una clase de conjuntos finitos de números naturales que "bloque" todas las secuencias infinitas, ver Es que hay un nombre para una familia de secuencias finitas que bloquear todas las secuencias infinitas? ). Por desgracia, las barreras (o, más precisamente, la propiedad de no ser una barrera, que es el predicado cuando se reduce a la forma normal prenex) se definen por una $\Sigma^1_1$ frase, así que esto no reduce la complejidad analítica de la subespacio invariante problema; pero uno al menos puede expresar este problema como un infinito conjunto de la aritmética frases, una para cada barrera. (Uno tiene, por supuesto, tiene que agregar el predicado de la membresía en la barrera del lenguaje de cálculo.)

(También hay una cuantificación universal sobre las funciones de crecimiento en mi formulación, que es otro de segundo orden objeto, pero esto no aumentar significativamente la complejidad, ser un simple objeto de la barrera.)

Henry Towsner (comunicación privada) ha logrado similar "finitisations" para cualquier $\Pi^1_2$ frase.