Dividimos la prueba en dos casos principales. Por el bien de evitar el desorden, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x \to a^+$ y establecer la notación que un "barrio" se refiere a un borradas de la faz de la vecindad.
Caso 1: $f,g \to 0$ como $x \to a^+$.
Pick $\epsilon>0$. Por hipótesis, existe una vecindad $U$ de $a$ tales que
$$L-\epsilon<\frac{f'(x)}{g'(x)}<L+\epsilon \tag{1}$$
para cada $x \in U$. Por el valor medio de Cauchy teoremase sigue que para cada $\alpha, \beta \in U$ con $\beta>\alpha$,
$$L-\epsilon<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}<L+\epsilon.$$
Dejando $\alpha \to a$, tenemos que
$$L-\epsilon \leq \frac{f(\beta)}{g(\beta)}\leq L+\epsilon.$$
Ya que esto es válido para cada $\beta \in U$, tenemos el resultado en este caso.
Caso 2: $f,g \to +\infty$ como $x \to a^+$.
Pick $\epsilon >0$. De nuevo, tenemos la existencia de un barrio de $U$ de $a$ tales que
$$L-\epsilon<\frac{f'(x)}{g'(x)}<L+\epsilon$$
para cada $x \in U$. Por el valor medio de Cauchy teorema se sigue que para cada $\alpha, \beta \in U$ con $\beta>\alpha$,
$$L-\epsilon<\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)}<L+\epsilon.$$
Esto puede escribirse como
$$L-\epsilon<\frac{f(\beta)}{g(\beta)} \cdot\frac{g(\beta)}{g(\beta)-g(\alpha)} + \frac{g(\alpha)}{g(\alpha)-g(\beta)} \cdot\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}<L+\epsilon.$$
Tomando la $\limsup$ e $\liminf$ como $\alpha \to a$ junto con el hecho de que $g \to +\infty$rendimientos
$$L-\epsilon \leq \liminf_{\alpha \to a}\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \leq \limsup_{\alpha \to a}\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \leq L+\epsilon.$$
Ya que esto es válido para cada $\epsilon>0$, tenemos que $\liminf_{\alpha \to a}\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} = \limsup_{\alpha \to a}\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=L$ y el resultado de la siguiente manera.
Algunas observaciones:
- También debe quedar claro que si $L = +\infty$ (resp. $-\infty$), a continuación, estas pruebas pueden ser fácilmente adaptado por el cambio de "recoger" $\epsilon>0$" para "recoger" $K \in \mathbb{R}$" y el cambio de la desigualdad $(1)$ a $\frac{f'(x)}{g'(x)} >K$ (resp. $\frac{f'(x)}{g'(x)} < K$), mientras que también hace la obvia siguientes cambios.
- Como una leve curiosidad (que no es tan profundo después de algunos inspección), tenga en cuenta que en el caso de $f,g \to +\infty$, la suposición de que $f \to +\infty$ no es realmente necesario. Basta suponer que $g \to +\infty$. Pero conste el teorema sin asumiendo $f \to +\infty$ puede ser confuso para los estudiantes que ver esto con mucha más frecuencia en el contexto de la llamada "indeterminado formas".
El pasaje que implican la $\limsup$ e $\liminf$ puede ser un poco oscuro. Primero de todo, vamos a adoptar las siguientes definiciones:
$$\limsup_{x \to a} = \inf_{\substack{\text{$U$ del.} \\ \text{nbhd. of $x$}}} \sup_{x \in U} f(x), \quad \liminf_{x \to a} = \sup_{\substack{\text{$U$ del.} \\ \text{nbhd. of $x$}}} \inf_{x \in U} f(x).$$
También se podría resolver esa parte de forma secuencial mediante la toma de $x_n \to a$ y el uso de la $\limsup$ e $\liminf$ de las secuencias, estableciendo que el límite es el mismo para cada secuencia $x_n \to a$. Es una cuestión de preferencia.
Entonces, estamos utilizando son los siguientes hechos:
1) Si $\lim_{x \to a} h(x) = M$, luego
$$\limsup (h(x)+j(x)) = M +\limsup j(x) $$
y
$$\liminf (h(x)+j(x)) = M +\liminf j(x) .$$
2) Si $\lim_{x \to a} h(x) = c >0$, luego
$$\limsup (h(x) j(x)) = c \cdot\limsup j(x)$$
y
$$\liminf (h(x) j(x)) = c \cdot\liminf j(x).$$
3) Si $h(x) \leq j(x)$, luego
$$\limsup h(x) \leq \limsup j(x) $$
y
$$\liminf h(x) \leq \liminf j(x) .$$
4) $\liminf h(x) \leq \limsup h(x)$ y, si ambos coinciden, a continuación, $\lim h(x)$ existe y es igual para ambos.
