Número de triples de raíces (de un sistema de raíces de encaje simple) que suman cero

Question

En un documento 1105.5073 los autores tomaron un sistema de raíces simplemente enlazadas $\Delta$ de tipo $G=A,D,E$ y luego contó el número de triples desordenados $(\alpha,\beta,\gamma)$ de raíces que suman cero: $\alpha+\beta+\gamma=0$ .

Descubrieron que hay $rh(h-2)/3$ tales triples, donde $r$ es el rango de $G$ y $h$ es el número de Coxeter de $G$ .

Por supuesto, podemos demostrarlo estudiando uno a uno los sistemas de raíces simplemente enlazados (que es lo que hicieron los autores).

Mi pregunta es si hay una forma más agradable de mostrar esto sin recurrir a un análisis caso por caso, utilizando la propiedad general del elemento Coxeter, etc.

actualización

Permítanme añadir un poco de información de fondo sobre por qué los teóricos de las cuerdas se preocupan por esto.

En la teoría de cuerdas, hay cosas llamadas D-branas. Si $N$ D-branas se colocan una encima de la otra, tenemos $U(N)$ campos de calibre en la parte superior, y hay de orden $\sim N^2$ grados de libertad en él. Hay construcciones un poco más complicadas que nos dan campos gauge con grupo simple arbitrario $G$ . Entonces el número de grados de libertad es $\dim G$ .

En la teoría M, hay cosas llamadas M5-branas. Si $N$ Las membranas M5 se colocan unas encima de otras, no sabemos qué hay encima. Pero hay una forma indirecta de calcular cuántos grados de libertad debe haber; y la conclusión es que debe haber $\sim N^3$ grados de libertad (hep-th/9808060) . Es uno de los grandes problemas sin resolver en la teoría de cuerdas/M entender qué estructura matemática da lugar a esta $N^3$ grados de libertad.

Podemos llamar a $N$ M5-branas como el $SU(N)$ versión de la construcción. Hay construcciones un poco más complicadas, como en el caso de las D-branas, pero se cree que sólo existen las de encaje simple. Son las llamadas "6d $\mathcal{N}=(2,0)$ ", que desempeña un papel importante en la aproximación física a la correspondencia geométrica de Langlands, etc. Véase Revisión de Witten .

Hay varios argumentos de peso por los que sólo hay variantes de encaje simple en 6d, pero a mí me gusta este de Henningson lo mejor. De todos modos, el número de grados de libertad para los casos D y E se calculó en este y este ; resultó estar dada por $h_G \dim G /3$ . (Como sólo hay de lazo simple, no hay distinción entre el número dual de Coxeter y el número de Coxeter).

Este producto de la dimensión y el número de Coxeter (dual) se ha obtenido de forma muy indirecta, y nos gustaría saber más. Bolognesi y Lee han propuesto una idea numerológica interesante en el artículo citado al principio de esta pregunta. Su idea es pensar en $h_G\dim G$ como

$h_G\dim G/3 = hr + h(h-2)r/3 = $ (número de raíces) + (número de triples desordenados de raíces que suman cero).

Proponen que el primer término corresponde a las "cuerdas" etiquetadas por las raíces, y el segundo término como las "uniones de tres cuerdas". Para conectar sistemáticamente tres cuerdas en un punto, las raíces que las etiquetan deben sumar cero. (Ellos no escribieron así en su artículo; utilizan un lenguaje más "físico". Yo lo "traduje" cuando hice la pregunta original aquí). Esto hace un poco más precisa la vaga idea de que las uniones de tres cuerdas son importantes en las membranas M5.

Encontré este hecho sobre los sistemas de raíces simplemente enlazadas bastante intrigante, y por lo tanto me pregunté una manera de probarlo agradablemente.

Answer 1

Suponiendo que todas las raíces tienen norma 2, esto es esencialmente lo mismo que demostrar que el número de raíces que tienen producto interior 1 con una raíz fija $\beta$ es 2h-4, lo que a su vez se deduce de la propiedad de que $\sum_\alpha(\alpha,\beta)^2/(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)=h$ . Esta igualdad es una de las muchas propiedades estándar de h, dadas en Bourbaki ch V no 6.2 corolario del teorema 1.

Answer 2

Para compensar mis desenfocados comentarios anteriores, puede ser útil complementar la eficiente respuesta de Richard, basada en el tratamiento de Bourbaki de los elementos de Coxeter en grupos de reflexión finitos. Hay un artículo de 1999 de Weiqiang Wang, breve y en gran medida autocontenido, que trata directamente de los sistemas de raíces (cristalográficos) y los números duales de Coxeter para todos los tipos simples. Se inspiró en parte en la tesis de Wang y en su trabajo conjunto con Victor Kac sobre las álgebras de operadores de vértice, pero es de naturaleza elemental. El enlace al artículo es aquí .

Brevemente, para el sistema de raíces irreducible dado $\Delta$ se fija primero un sistema positivo, con $\rho$ la semisuma de las raíces positivas y $\theta$ la raíz más alta que tiene el producto interno normalizado $(\theta, \theta) =2$ . Según Kac, el número dual de Coxeter se define por $h^\vee = (\rho,\theta)+1$ . (Los argumentos estándar muestran que para los tipos de encaje simple esto coincide con el número de Coxeter habitual $h$ .) Ahora una raíz positiva $\alpha$ se llama especial si $\theta-\alpha \in \Delta$ . Entonces (Lemma 2) el número de raíces especiales es $2(h^\vee -2)$ . Cada uno de ellos define una tripleta ordenada $(-\theta, \alpha, \theta-\alpha)$ sumando a 0.

El lema (combinado con $h = h^\vee$ por la simpleza de la misma $\Delta$ ) ofrece aquí otro enfoque de la cuestión: Todas las raíces tienen una longitud igual a la de $\theta$ y son conjugados bajo el grupo de Weyl ( $\Delta$ siendo irreducible), por lo que cada raíz desempeña el papel de $\theta$ para algún sistema positivo. Pero el número de raíces es $rh$ como ya se ha señalado y, por tanto, el número total de conjuntos $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ sumando a 0 es $2(h-2)rh/6 = rh(h-2)/3$ porque $6$ Los triples ordenados dan lugar a un solo conjunto de este tipo. .

Mientras que sólo los sistemas de raíces simplemente enlazados parecen tener un significado físico aquí, me pregunto si la formulación de Wang en términos de $h^\vee$ tiene más implicaciones combinatorias. (Lo utilizó para calcular la dimensión de la órbita mínima nilpotente en un álgebra de Lie simple asociada: a saber, $2h^\vee -2$ .)

Answer 3

Existe otro enfoque mediante la extraña fórmula de Freudenthal y de Vries, que establece que $h^\vee d = 12 \rho^2$ donde el vector de Weyl $\rho$ es la mitad de la suma de las raíces positivas. Las raíces largas tienen la longitud al cuadrado de dos. Así, $$\frac13 h^\vee d = \sum_{\alpha>0} \alpha^2+ \sum_{\alpha,\beta>0,\alpha\neq\beta}\alpha\cdot\beta $$ Para el grupo de lazos simples, el primer término de RHS es el número de raíces $hr=d-r$ y el segundo término del lado derecho debe ser $rh(h-2)/3$ . Para el caso no simple de encaje, todavía puede haber alguna interpretación interesante de la descomposición anterior.