Dada una variedad riemanniana $M$ , dejemos que $\gamma: (a,b) \to M$ sea una geodésica y $E$ un campo vectorial paralelo a lo largo de $\gamma$ . Definir $\varphi: (a,b) \to M$ por $t \mapsto \exp_{\gamma(t)}(E(t))$ . ¿Existe una expresión "bonita" para $\varphi'(t)$ ?
Esta pregunta tiene su origen en un intento de entender la demostración del corolario 1.36 en "Comparison Theorems in Riemannian Geometry" de Cheeger y Ebin.
Dejemos que $x(u,t) = \exp_{\gamma(t)}(u E(t))$ . Para las instalaciones fijas $t$ , ya que $u$ va de 0 a 1, la curva $x(\cdot, t)$ es un segmento geodésico desde $\gamma(t)$ a $\exp_{\gamma(t)}(E(t))$ . Entonces $\phi'(t) = J(1)$ donde $J$ es el campo de Jacobi a lo largo de este segmento geodésico, con las condiciones iniciales $J(0) = \gamma'(t)$ y $(\nabla_{d x/d u} J)(0) = 0$ .
¿Por qué? Como $t$ varía, $x$ es una variación a través de geodésicas, por lo que para un $t$ , $\frac{\partial x}{\partial t}(u,t)$ es un campo de Jacobi (llámese $J$ ) a lo largo de la geodésica $x(\cdot, t)$ . Entonces $\phi'(t) = \frac{\partial x}{\partial t}(1,t) = J(1)$ mientras que $\gamma'(t) = \frac{\partial x}{\partial t}(0,t) = J(0)$ . Y utilizando el hecho de que $\nabla$ es libre de torsión y $E$ es paralelo tenemos $(\nabla_{\partial x/\partial u} \frac{\partial x}{\partial t})(0,t) = (\nabla_{\partial x/\partial t} \frac{\partial x}{\partial u})(0,t)= \nabla_{\partial x/\partial t}E(t) = 0.$
(Supongo que esto no necesita $\gamma$ para ser un geodésico....?)
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Sí, utiliza la regla de la cadena junto con la expresión de la diferencial de exp en términos de campos de Jacobi
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@Sebastian, estoy confundido como calcular el diferencial de exp. Sé que el resultado que $(exp_p)_*:TT_pM \to TM$ es $(exp_p)_*|_V(W) = J_W(1)$ donde $J$ es el campo de Jacobi con $J(0) = 0$ y $D_tJ = W$ . Sin embargo, esto es sólo la mitad del diferencial completo de exp que creo que se necesitaría, es decir $(exp)_*: TTM \to TM$ . ¿Cómo se computa la otra mitad, partiendo del hecho de que $p$ ¿varía ahora?
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Si $p$ varía, entonces sólo se obtiene un campo de Jacobi $J$ donde $J(0) \ne 0$ . La cuestión es que la primera variación de cualquier familia de geodésicas se llama campo de Jacobi y satisface la ecuación de Jacobi a lo largo de la geodésica original. Cualquier campo de Jacobi puede descomponerse en tres componentes diferentes, una tangente a la geodésica y dos ortogonales. De las dos ortogonales, una desaparece en el origen pero tiene derivada no nula allí y la segunda es no nula en el origen pero tiene derivada nula allí. Estoy bastante seguro de que todo esto está explicado en Cheeger-Ebin (ya que probablemente lo aprendí todo de allí).
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Gracias. Por alguna razón esperaba una respuesta más concreta que los campos de Jacobi, en retrospectiva eso fue un poco tonto...
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¿Qué condición en el colector implicará que $\phi$ ¿también es una geodésica? Es definitivamente cierto cuando el colector es $\mathbb{R^n}$ , pero por lo demás parece que no es cierto. ¿Existe una condición suficiente? Gracias.
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También me interesa esta cuestión cuando $\gamma$ no es necesariamente una curva. ¿Puede alguien dar una respuesta general? Es decir, si $(M,g)$ es una variedad riemanniana y $X \in \mathbb{T}(M)$ un campo vectorial suave (que puede tomarse como un campo vectorial a lo largo de la imagen de un camino o un mapa más general), podemos exponer $X$ para dar un mapa suave $$\mathrm{exp}\colon M\to M$$ $$p\mapsto \mathrm{exp}_p(X(p))$$ ¿Cómo se puede expresar la derivada $d_p \mathrm{exp}\colon \mathbb{T}_pM \to \mathbb{T}_pM$ en términos de X?