Desde un punto de vista de la lógica, de la verificación de una prueba es un sintáctica de negocios, también conocido como símbolo de empujar, mientras que la comprensión de una prueba es una semántica de la materia. No puedo resistir a dar un laico de la analogía como un aperitivo: Muchas personas pueden seguir una receta para hornear un pastel, pero no como muchos pueden diseñar la receta o saber cómo ajustar a hacer algo más.
Muchos de los mejores ejemplos de incluir la prueba de una declaración existencial que requiere la construcción de un complicado testimonio de ella. Usted puede estar familiarizado con la construcción de los reales a través de Dedekind cortes de racionales o a través de secuencias de Cauchy de racionales, y estas pruebas se puede comprobar fácilmente, paso por paso, cualquier estudiante que comprende básicos de matemáticas, pero, ¿cuántos estudiantes realmente entender estas construcciones? Que no saben es que el Dedekind corte enfoque se extiende a la realización de lineal órdenes, mientras que la secuencia de Cauchy enfoque se extiende a la finalización de la métrica espacios? ¿Tienen un poco de sentido de la maravilla que de ambas maneras suceder a producir el mismo resultado en el caso de la cumplimentación de los racionales?
En una vena similar, uno puede construir los números complejos, al definir el conjunto $C = \mathbb{R}^2$ con $+,·$ definido por $(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)$ e $(a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc)$, y, a continuación, comprobar que $(C,+,·,(0,0),(1,0))$ es un anillo y que $(a,b)·(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}) = (1,0)$ por cada $(a,b) ∈ C ∖ \{(0,0)\}$. Pero en mi opinión, esta prueba debe sentir misterioso e insuficiente , a menos que usted realmente entender la motivación de estas definiciones y conocer la construcción a través de la extensión de campo (es decir, $R[X]/(X^2+1)R[X]$). Esto es porque no hay a priori ninguna razón en absoluto para las definiciones anteriores de $+,·$ hacer $·$ asociativa y distributiva de más de $+$, a menos que usted ya ha entendido que los reales puede ser extendido a un campo con algún elemento $i$ tal que $i^2+1 = 0$, y que el campo resultante debe ser un espacio vectorial sobre los reales con la dimensión de $2$, que en conjunto de la fuerza de $+,·$ a necesariamente obedecer esas definiciones! De lo contrario, sería totalmente en la oscuridad en cuanto a por qué esas definiciones deben trabajar, aunque se puede ver claramente que ellos hacen.
Estos son ejemplos de la matemática básica, pero espero que muestra cómo una declaración existencial podría tener una prueba de que no ofrece ninguna comprensión de la prueba, de la misma manera que se puede observar que la mezcla de pastel se eleva a hornear sin tener ni idea de por qué lo hace...
Como experiencia personal, hay una en particular, la prueba de que nunca me he sentido realmente me entiende, aunque tengo un asimiento sólido de la prueba formal de sí mismo:
$
\def\pa{\text{PA}}
$
Teorema: Vamos a $T = \pa + \{ \ c>1 \ , \ c>1+1 \ , \ c>1+1+1 \ , \ \cdots \ \}$, donde $c$ es una nueva constante de símbolos. A continuación, $T$ es conservador más de $\pa$.
Prueba: Tome cualquier aritmética sentencia de $Q$ tal que $\pa ⊬ Q$. A continuación, $\pa+¬Q$ es consistente y tiene un modelo (por integridad), que claramente finitely satisface $T+¬Q$, y, por tanto, $T+¬Q$ tiene un modelo (por compacidad). Por lo tanto $T ⊬ Q$.
Aunque estoy totalmente de entender la completitud y compacidad teoremas, yo de alguna manera no puede comprender intuitivamente cómo esta la prueba de que funciona. ¿Por qué debemos tener para invocar modelos? Puede que en lugar de mostrar directamente que cada prueba de aritmética $Q$ sobre $T$ se puede convertir en una prueba de $Q$ sobre $\pa$?
