Lineal mapas entre arbitrariamente elegido vectores de espacios vectoriales $V$ e $W$

Question

Recientemente me encontré con esta pregunta:

Es el axioma de elección necesario para probar la siguiente declaración:

Deje $V, W$ ser espacios vectoriales, y supongamos $V \neq \{0\}$. Vamos $v \in V$, $v \neq 0$, $w \in W$. Existe una lineal mapa de $T : V \rightarrow W$ tal que $Tv = w$.

He hablado con alguien, que fui y pregunté a un par de personas, y piensan que sólo ZF por sí sola no es suficiente, y que de verdad necesitan de CA. Además, piensan que la declaración no es por sí mismo suficiente para demostrar CA. ¿Alguien puede dar una respuesta definitiva?

Answer 1

Sí, el axioma de elección es necesaria.

Läuchli ha construido un espacio vectorial cuyo único endomorphisms son la multiplicación escalar. En dicho espacio vectorial, si $v\neq \alpha w$ no hay tal $T$. El papel es en alemán, y utiliza la terminología matemática que tomó un poco de tiempo para entender.

Läuchli, H. "Auswahlaxiom en der Álgebra", Comentario. De matemáticas. Helv. 37 (1962-1963), 1-18.

En mi tesis de maestría me mostró (mediante la ampliación de Läuchli del argumento) que en el hecho de $\sf ZF+DC_\kappa$ no puede probar la existencia de tales $T$, para todas las $\kappa$. Usted puede encontrar un resumen de los resultados (en una muy temprana edición) aquí: Es la no trivialidad de la algebraicas dual de un infinito-dimensional espacio vectorial equivalente al axioma de elección?

A mi entender, la cuestión de si o no la afirmación de que tales $T$ siempre existe implica el axioma de elección es todavía abierto.