Primer coeficiente de totalmente positiva unidad fundamental modulo 3

Question

Supongamos $p$ es un número primo tal que $p\equiv 7 \pmod{12}$.

Desde $p \not \equiv 1 \mod{4}$, el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}(\sqrt{p})$ con la unidad fundamental de la forma $a+b\sqrt{p}$, donde $a, b > 0$

Es de la norma $+1$, debido a $a^2 - pb^2 \equiv -1 \pmod{4}$ no tiene soluciones cuando se $p\equiv -1 \pmod{4}$.

Es fácil ver que $a\equiv \pm 1 \pmod{3}$, ya que si $3|a$, a continuación, $a^2 - pb^2 \equiv - b^2 \not\equiv 1 \pmod{3}$

Un equipo marcada de observación. Para todos, dijo el $p$ tal que $p<20000$ el siguiente se tiene: $a\equiv -1 \pmod{3}$

Eso, creo, es bastante sorprendente. He intentado demostrar que $a\equiv -1$ para el caso cuando el período de la continuación de la fracción de $\sqrt{p}$ es de longitud $4$, pero no consiguió nada.

La afirmación es falsa cuando $p$ no es primo, por ejemplo, $\mathbb{Q}(115)$ tiene la unidad fundamental de la $1126+105\sqrt{115}$. También es falso cuando dejamos caer modulo condiciones, digamos, en $\mathbb{Q}(\sqrt{11})$ la unidad fundamental de la es $10+3\sqrt{11}$

Lo que se sabe acerca de los coeficientes de la continuación de la fracción de $\sqrt{p}$ ? Yo sólo sé que es de la forma $[a_o; \overline{a_1, a_2, ..., a_2, a_1, 2a_0}]$ , y que cuando el número de clase del campo es 1, la suma de $a_1 - a_2 + a_3 - ... \pm 2a_0$ es divisible por 3 (el último es el corolario de un teorema por Don Zagier).

Todo lo que no puede incluso impedir el caso cuando todos los coeficientes de la continuación de la fracción son divisibles por 3.

Todas las sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Por el Teorema 1.1 de Zhang-Yue: las unidades Fundamentales de la real cuadrática campos de impar número de clase, J. Teoría de los números 137 (2014), 122-129, tenemos que $a\equiv 0\pmod{2}$. A partir de aquí es una simple cuestión de probar que $a\equiv 2\pmod{3}$, por lo tanto en el hecho de $a\equiv 2\pmod{6}$. Para ver esto, vamos a escribir la unidad de la ecuación como $$(a-1)(a+1)=pb^2.$$ El lado izquierdo es divisible por $3$, por lo tanto también lo es $b$. Los factores en el lado izquierdo son impares y coprime, por lo que son de la forma $pb_1^2$ e $b_2^2$ en algunos de la orden, donde $b=b_1b_2$. Tenga en cuenta que exactamente uno de los $b_i$s'es divisible por $3$. Por lo tanto, la adición de los factores de la mano izquierda, tenemos el modulo $3$que $$2a=pb_1^2+b_2^2\equiv b_1^2+b_2^2\equiv 1\pmod{3}.$$ Por lo tanto $a\equiv 2\pmod{3}$ como se reivindica.