Es bien sabido que un incontable cardenal regular $ \kappa $ es fuertemente compacto si y sólo si cada $ \kappa $ -filtro completo en cualquier conjunto se extiende a un $ \kappa $ - un ultrafiltro completo en ese set. La prueba habitual de esto, en una dirección, utiliza $ \theta $ -fuerte compactación para manejar filtros de tamaño $ \theta $ incluso cuando esos filtros se concentran en conjuntos de base de tamaño inferior a $ \theta $ . Mi pregunta se refiere a la naturaleza de la limitación del tamaño de la base establecida en esta equivalencia, y en particular, cuál es la fuerza de la suposición en el caso de los filtros en $ \kappa $ en sí mismo.
Pregunta. ¿Cuál es la gran fuerza cardinal de la suposición de que $ \kappa $ es un incontable cardenal regular para el cual cada $ \kappa $ -filtro completo en $ \kappa $ se extiende a un $ \kappa $ -un ultrafiltro completo en $ \kappa $ ?
Para un límite inferior, cada uno de estos $ \kappa $ es fácilmente visto como un cardenal medible, ya que el filtro del club en $ \kappa $ es $ \kappa $ -completo y así la propiedad da una medida sobre $ \kappa $ .
Para un límite superior, si $ \kappa $ es $2^ \kappa $ -fuertemente compacto, entonces la propiedad se mantiene por la caracterización usual de fuerte compactación a la que me referí anteriormente. A saber, si $F$ es un $ \kappa $ -filtro completo en $ \kappa $ entonces deja que $j:V \to M$ ser un $2^ \kappa $ - una fuerte compactación de la incrustación. Desde $F$ tiene un tamaño máximo $2^ \kappa $ la fuerte compactación de la cubierta asegura que haya algo de $s \in M$ con $j^{ \prime\prime }F \subset s$ y $|s|^M<j( \kappa )$ . Podemos asumir $s \subset j(F)$ y así $ \bigcap s \in j(F)$ por $j( \kappa )$ -completo en $M$ . Escoge cualquiera $ \alpha\in \bigcap s$ y se deduce que $F \subset\mu $ donde $X \in\mu\leftrightarrow\alpha\in j(X)$ que los argumentos estándar muestran que es un $ \kappa $ -un ultrafiltro completo en $ \kappa $ .
Así que la propiedad está atrapada entre $ \kappa $ siendo medible y $ \kappa $ siendo $2^ \kappa $ - fuertemente compacta.
Otras preguntas más refinadas serían:
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Si hay un cardenal $ \kappa $ con la propiedad, ¿entonces se puede emprender la construcción de modelos internos con cardenales más fuertes que los medibles? Por ejemplo, ¿puede uno construir un modelo interno con un cardenal de Woodin?
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¿El cardenal medible en el modelo interior canónico $L[ \mu ]$ no tener la propiedad?
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¿Se puede forzar una instancia de un cardenal medible sin la propiedad?
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¿Puede uno forzar a un cardenal $ \kappa $ tener la propiedad, pero no ser $2^ \kappa $ - ¿fuerte y compacta?
Sospecho que las respuestas a todas estas preguntas son afirmativas.
Más en general,
Pregunta. ¿Cuál es la fuerza de la suposición de que cada $ \kappa $ -filtro completo en un conjunto de tamaño $ \theta $ se extiende a un $ \kappa $ - un ultrafiltro completo en ese set?
Como arriba, cualquier $2^ \theta $ -el cardenal compacto tiene esta propiedad, y esta propiedad implica que hay uniformes $ \kappa $ -completo de ultrafiltros en cada cardenal regular hasta e incluyendo $ \theta $ que por un resultado de Ketonen implica que $ \kappa $ es fuertemente compacto hasta ese grado. Así que cuando $ \theta $ es regular, esta propiedad está atrapada entre $ \theta $ -fuerte compactación y $2^ \theta $ - una fuerte compactación.
Esta cuestión surgió a raíz de un problema que surgió en una respuesta de Noah S a una pregunta anterior sobre el modus operandi.
