¿Puede cualquier grupo estar incrustado en un grupo simple?

Question

Cualquier grupo finito $G$ puede ser incrustado en $A_{|G|+2}$ mediante el teorema de Cayley ( $G\hookrightarrow S_{|G|}\hookrightarrow A_{|G|+2}$ ). Si $G$ no se supone que sea finito, ¿sigue siendo siempre posible incrustarlo en un grupo simple?

Answer 1

Sí. Supongamos que $G$ es infinito. Cayley sigue incrustando $G$ en el grupo $S_G$ de permutaciones de $G$ . Este grupo ya no es simple: hay un subgrupo normal subgrupo normal, llamémoslo $N_G$ que consiste en todas las permutaciones que fijan el complemento de un subconjunto de $G$ de cardinalidad menor que la de $G$ . Pero por un teorema de Baer, Schreier y Ulam, cada subgrupo normal de $S_G$ que no sea $S_G$ mismo, está contenido en $N_G$ . Por lo tanto, $Q_G := S_G / N_G$ es simple. Además, el mapa compuesto $G \to S_G \to Q_G$ sigue siendo una incrustación porque no hay ninguna no-identidad elemento de $G$ tiene algún punto fijo. Por lo tanto, hemos incrustado $G$ en el grupo simple $Q_G$ .