Aquí está una lógica basada punto de vista sobre el uso de isomorphisms y homomorphisms. Cada primer orden de la estructura (por ejemplo, grupo, anillo, campo, módulo, ...) tiene asociado un (completa) de la teoría, esto es, el conjunto de todas las sentencias en su idioma, que son verdaderas para él. Por ejemplo, cada grupo satisface el grupo de axiomas. Algunos grupos $(G,·)$ satisfacer "$∀x,y\ ( x·y = y·x )$" (es decir, $(G,·)$ es abelian) mientras que otros no. Pero cualquier isomorfismo entre dos estructuras de $M,N$ inmediatamente le dice que su teoría es idéntico. Además, si no hay ningún homomorphism de $M$ a $N$, entonces cada frase positiva (es decir, una oración construida utilizando sólo $∀,∃,∧,∨,=$, es decir, no la negación o la implicación), que es cierto para $M$ también es cierto para $N$. Por ejemplo, un grupo abelian es una frase positiva, dando Lee Mosher's ejemplo de la prueba de que un grupo de nonabelian a través de un homomorphism en un nonabelian grupo.
Pero, de hecho, esta idea es mucho más ampliamente aplicable que puede parecer a primera! Por ejemplo, la prueba de que el 15 de rompecabezas en su estado resuelto, pero con cualquiera de los dos números intercambiados no puede ser resuelto se basa en la invariante de la paridad de la permutación de las 16 plazas así como de la distancia de la plaza vacía de su ubicación final. La paridad de la permutación en $S_n$ es sólo un homomorphism de $S_n$ a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, y esta invariante es muy útil en muchos de los resultados no sólo en la combinatoria, sino también en álgebra lineal (como Leibniz del determinante de la fórmula).
Sólo para dejar en claro cómo la idea se muestra en invariantes, supongamos que tenemos un rompecabezas y quiere demostrar que no hay secuencia de movimientos que puede conducir a un estado determinado. A continuación, se puede considerar que la estructura de $M$ de los estados con una función de símbolo para cada movimiento posible. Entonces la afirmación de que una de las secuencias de movimientos es una solución puede ser expresada como una ecuación de la forma "$y = f_1(f_2(\cdots f_k(x)\cdots))$". Un invariante $i$ es un homomorphism en $M$. En algunos casos, podemos encontrar una $i$ donde $i(f_k(x)) = i(x)$ por cada estado $x$, lo que da "$i(y) = i(x)$". Pero podemos, en general, quiere razonar acerca de las clases de equivalencia de los estados de acuerdo a $i$. Por ejemplo, muchos de permutación rompecabezas tienen paridades, que deben ser corregidos adecuadamente antes de los conmutadores pueden ser utilizadas para resolverlos.
Otro ejemplo es la liquidación de una trayectoria continua que evite el origen alrededor del origen. Deje $A$ el conjunto de continuo caminos que no pasan por el origen. Deje $s$ ser un ternario relación en $A$ tal que $s(P,Q,R)$ fib $P$ termina en donde $Q$ comienza y $R$ es el resultado de unir $P$ a $Q$. Hay un homomorphism $w$ de $(A,s)$ a $\mathbb{R}$ con la adición relación, de tal manera que el $w(C)∈\mathbb{Z}$ por cualquier camino cerrado $C∈A$. Devanado se utiliza en una prueba de la 2d teorema del valor intermedio.
Además, homomorphisms son útiles en la construcción de nuevas estructuras. Por ejemplo, un campo de $F$ puede ser extendido por el que se adhiere a la raíz de un polinomio irreducible $p$ sobre $F$, pero que muestra este hace uso de la homomorphism $j$ de $F[X]$ a $F[X]/(p·F[X])$ conseguir $p(j(X)) = j(p(X)) = j(0)$. Para otro ejemplo, la construcción de los reales a través de secuencias de Cauchy racionales podría decirse que requiere la noción de la división en clases, donde en cada clase cualquiera de los dos tienen pointwise diferencia va a cero, y efectivamente lo estamos demostrando que no hay un homomorphism en secuencias de Cauchy racionales cuyo núcleo es el conjunto de secuencias que se vaya a cero. Suena familiar (primer teorema de isomorfismo)?
Si nos fijamos en otras estructuras algebraicas, también tenemos el determinante de las matrices cuadradas, que es un homomorphism de la matriz de anillo en el subyacente anillo, y esto es muy útil en muchas pruebas. Cada módulo es esencialmente un anillo de homomorphisms en un abelian anillo. En geometría, puede ser útil el uso de la proyección de 3d a 2d, como en la prueba de Desargue del teorema. Aquí la proyección es un homomorphism que respeta la colinealidad.
En un sentido amplio, un trivial homomorphism reduce a una estructura más simple, respetando algunas operaciones y propiedades, y al hacerlo puede revelar características principales de la estructura original o permitir la transferencia de conocimientos acerca de la estructura inicial de conocimientos acerca de la imagen.
