¿Qué es la homotopía equivariante superior?

Question

En el "Survey of elliptic cohomology" de Lurie se afirma que existe una mística "teoría de homotopía equivariante" para la cohomología elíptica. La cohomología elíptica equivariante clásica se describe como un functor no explícito que asocia una pila $M_G $ a cualquier grupo de Lie compacto $G $ . Se afirma que este functor puede extenderse de grupos de Lie a "extensiones de grupos de Lie por $B\mathbb G_m $ ", pero no se explica qué tipo de objetos son realmente tales extensiones ni qué es realmente esta homotopía equivariante superior. Naturalmente, también se afirma que existe una "teoría de homotopía n-equivariante" para los espectros asociados a grupos formales de mayor altura.

Aunque puedo hacer algunas conjeturas sobre partes de esta afirmación (por ejemplo, un $B\mathbb G_m $ La extensión puede considerarse como un grupo topológico o como una categoría en colectores ), la mayor parte sigue siendo un misterio para mí. Al buscar en Google no he encontrado ninguna referencia. De ahí la pregunta: ¿qué es esta teoría equivariante superior y dónde puedo leer sobre ella?

Answer 1

También me gustaría saber la respuesta a su pregunta. Dado que nadie ha respondido todavía, especularé de forma temeraria e irresponsable sobre cómo podría funcionar (inspirándome en el último párrafo de la sección 5.1 de la encuesta).

Antes de averiguar qué es la "teoría de homotopía equivariante superior", debemos saber primero qué es la "teoría de homotopía equivariante". En este caso, queremos la "teoría global de homotopía equivariante", también conocida como la teoría de homotopía de pilas lisas, tal y como la introdujo Gepner-Henriques .

Demuestran que la teoría de homotopía de los apilamientos lisos está modelada por la teoría de homotopía $PSh(Orb)$ de presheaves de infinity-groupoids en $Orb$ . Aquí $Orb$ es una categoría topológicamente enriquecida (es decir, una categoría infinita) cuyos objetos son grupos de Lie compactos $G$ y cuyos espacios de morfismo están dados por $$Orb(G,H) := BFun(G,H),$$ un espacio clasificador de la categoría de funtores lisos (por lo que los componentes del camino de $Orb(G,H)$ corresponden a clases de conjugación de homomorfismos $\phi\colon G\to H$ y el componente de la ruta que contiene $\phi$ es el espacio clasificatorio del centralizador de $\phi$ )

Observación: existe un mapa evidente $B\colon Orb(G,H)\to Map(BG,BH)$ . Cuando $H$ es una extensión de un grupo abeliano por un toroide, es una equivalencia débil; pero no es generalmente una equivalencia débil en caso contrario.

La construcción de Jacob aparentemente asocia a cada curva elíptica orientada derivada $E\to Spec(A)$ un functor $M\colon Orb\to Sch_A$ tomando valores en esquemas derivados sobre $A$ . La curva $E=M(U(1))$ . La sección 5.1 sugiere ampliar esta construcción incorporando un "nivel".

Así que vamos a definir $\widetilde{Orb}$ tener objetos $(G,\ell)$ , donde $G$ es un grupo de Lie compacto y $\ell\colon BG \to K(\Lambda, 4)$ un mapa, donde $\Lambda$ es un grupo abeliano libre. El espacio de morfismo $\widetilde{Orb}((G,\ell), (G',\ell'))$ es el pullback homotópico de $$Orb(G,G') \to Map(BG,BG') \to Map(BG, K(\Lambda',4)) \leftarrow Map(K(\Lambda,4), K(\Lambda',4)).$$ Es decir, un "mapa" $(G,\ell)\to (G',\ell')$ es un homomorfismo $\phi\colon G\to G'$ junto con $f\colon K(\Lambda,4)\to K(\Lambda',4)$ y una homotopía $f\circ \ell \sim \ell'\circ B\phi$ .

Ahora podemos definir teoría de la homotopía 2-equivariante para ser $PSh(\widetilde{Orb})$

Lo ideal es que en este punto se identifique $\widetilde{Orb}$ con algo más geométrico, por ejemplo, alguna categoría adecuada de grupos de Lie 2. Tal vez incluso identifique $PSh(\widetilde{Orb})$ con la teoría de homotopía de mumble mumble pilas lisas de 2 mumble (no tengo ni idea aquí). Sin embargo, no necesitamos hacer esto si sólo queremos jugar con la teoría de homotopía: sólo necesitamos $\widetilde{Orb}$ .

Tenga en cuenta que $Orb$ puede identificarse como la subcategoría completa de $\widetilde{Orb}$ que consiste en $(G,0\colon BG\to K(0,4))$ . Creo que Jacob está afirmando que el functor $M\colon Orb\to Sch_A$ puede extenderse a un functor de $\widetilde{Orb}$ . No se trataría de una extensión arbitraria, sino que satisfaría algunas compatibilidades, entre las que quizás se encuentre:

• Compatibilidad con el cambio de base: dado un homomorfismo $\phi\colon H\to G$ , exigen que $M(H,\ell\circ B\phi)\to M(G,\ell)$ sea el cambio de base evidente a lo largo de $M(H,0)\to M(G,0)$ .

• Dados dos niveles $\ell\colon G\to K(\Lambda,4)$ y $\ell'\colon G\to K(\Lambda',4)$ , $M(G,\ell\oplus \ell')$ debería ser el retroceso de $M(G,\ell)\to M(G,0)\leftarrow M(G,\ell')$ . Esto implicaría que los valores de $M$ están determinadas por las de los objetos en $Orb$ junto con $(G,\ell)$ con $\ell\colon BG\to K(Z,4)$ .

• Lo anterior implica que $M(e,Be\to K(Z,4))$ tiene la estructura de un objeto de grupo abeliano en $Sch_A$ . Exigimos que este objeto sea $\mathbb{G}_m$ .

• Exigir cada $M(G,BG\to K(Z,4))$ ser un $\mathbb{G}_m$ -torsor.

Entonces el teorema de Jacob es posiblemente algo así como: una extensión de $M$ la satisfacción de una lista de compatibilidades está totalmente determinada por la especificación de un valor en el nivel de producto de la copa $\ell\colon BU(1)\times BU(1)\to K(Z,4)$ que a su vez debe satisfacer algunas propiedades/estructura ("biextensión simétrica de $M(U(1))=E$ por $\mathbb{G}_m$ ").

Se puede adivinar que la teoría de homotopía n-equivariante se construye a partir de pares $(G,\ell)$ , donde $\ell \colon BG\to Z$ es un mapa hacia algún tipo adecuado de $(n+2)$ -espacio truncado $Z$ . La forma de especificar esto depende probablemente de lo que se quiera conseguir con ello. No tengo ni idea de eso.