En Erdos-Kakutani como Equivalentes de la Insuficiencia de la Hipótesis continua

Question

Entre todos misterioso equivalentes de la Hipótesis continua y su negación, no es una combinatoria algebraica equivalente de la $\neg CH$ por Erdos y Kakutani (MR0008136) como sigue:

Definición. Lineal homogénea de la ecuación de $a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = 0$ con coeficientes reales se llama $\aleph_0$-regular si cada colorear de los números reales por $\aleph_0$-cantidad de colores que tiene un monocromático solución a la ecuación anterior en distintos $x_i$.

Observación. No todos lineal homogéneo de ecuaciones con coeficientes reales se $\aleph_0$-regular. Un ejemplo es el de Schur's de la ecuación: $x_1 + x_2-x_3=0$.

Teorema 1. (Erdos - Kakutani) Los siguientes son equivalentes:

(a) $2^{\aleph_0}>\aleph_1$

(b) La ecuación de $x_1+x_2 - x_3 - x_4=0$ es $\aleph_0$-regular.

En otras palabras, no sólo debe haber muchos reales si uno siempre puede encontrar un monocromático solución de esta ecuación con respecto a todos los colores, pero también si hay tantos reales, a continuación, una solución realmente existe para cada $\aleph_0$colorear.

Inspirado por algunos de los resultados de Komjath, Fox (MR2360680) ha demostrado ser la siguiente generalización de Erdos - teorema de Kakutani:

Teorema 2. (Fox) Los siguientes son equivalentes:

(a) $2^{\aleph_0}>\aleph_n$

(b) La ecuación de $x_1+nx_2 - x_3 - ... - x_{n+3}=0$ es $\aleph_0$-regular.

Mis preguntas son en dos direcciones diferentes. En primer lugar, tenga en cuenta que hay clase adecuada muchos casos de la falta de $CH$ en forma de $2^{\aleph_0}>\aleph_\alpha$ mientras que el número de lineal homogéneo de ecuaciones $a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = 0$ con coeficientes reales es limitada. Por lo tanto no debe ser un lugar donde la correlación entre el tamaño de continuidad y $\aleph_0$-regularidad lineal homogéneo de ecuaciones con coeficientes reales se rompe! Así que debe haber un mínimo de $\alpha$ donde NO hay Erdos-Kakutani-como equivalente de la $2^{\aleph_0}>\aleph_\alpha$. ¿Está muy lejos?

Pregunta 1. ¿Cuál es el mínimo ordinal $\alpha$ tal que NO es lineal homogénea de la ecuación de $a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = 0$ con coeficientes reales tales que:

$$2^{\aleph_0}>\aleph_\alpha\Leftrightarrow a_1x_1 + a_2x_2 + … + a_nx_n = 0 ~ \text{is}~\aleph_0 \text{-regular}$$

Fox y Erdos-Kakutani teoremas indican que la existencia de monocromática de soluciones para ciertos lineal de ecuaciones sobre los números reales contiene valiosa información sobre el tamaño de la continuidad. ¿Qué acerca de arbitrario ecuaciones, en particular, el simple no-lineales? ¿Y qué tipo de información contienen? Su $\aleph_0$-regularidad imponer límites superior en el tamaño de la continuidad, en lugar de los límites inferiores?

Pregunta 2. Hay alguna versión no lineal de Erdos-Kakutani del teorema? Una no-lineal de la ecuación de $p(x_1,...x_n)=0$ cuyas $\aleph_0$-regularidad es equivalente a una declaración sobre el tamaño de la continuidad?

Answer 1

Durante una comunicación personal, Schmerl ha sugerido que los resultados en los siguientes documentos, que están estrechamente relacionadas con la respuesta a la pregunta 2. Añado aquí para el bien de aquellos que estén interesados:

Ref:

(1) James H. Schmerl, Evitables algebraica de los subconjuntos del espacio Euclidiano, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 352 (2000), 2479-2489.

(2) James H. Schmerl, Cromática números de algebraicas hypergraphs, Combinatorica 37 (2017), no. 5, 1011-1026.

(3) James H. Schmerl, Decidir la Cromática de los Números de la Algebraicas Hypergrahs, (2016).

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Aquí están algunas definiciones y resultados de los artículos arriba mencionados. Usted puede encontrar más información en el mencionado referencias:

Definición. Un polinomio $p(x_0, x_1,\cdots , x_{k-1})$ sobre los reales $\mathbb{R}$ es $(k, n)$-ary si cada una de las $x_i$ es $n$-tupla de variables. Decimos que un $(k, n)$-ary polinomio $p(x_0, x_1,\cdots , x_{k-1})$ es evitable si los puntos de $\mathbb{R}^n$ puede ser coloreado con countably muchos colores que siempre $a_0, a_1,\cdots , a_{k-1}\in \mathbb{R}^n$ son distintos e $p(a_0, a_1,\cdots , a_{k-1})=0$, entonces no se $i < j < k$ de manera tal que los puntos de $a_i, a_j$ son de diferente color. El polinomio es inevitable si no es evitable.

Del mismo modo, para un infinito cardenal $\kappa$, la $(k, n)$-ary polinomio $p(x_0, x_1,\cdots , x_{k-1})$ es $\kappa$-evitable si los puntos de $\mathbb{R}^n$ puede ser de color el uso de $\kappa$ colores que siempre $a_0, a_1,\cdots , a_{k-1}\in \mathbb{R}^n$ son distintos e $p(a_0, a_1,\cdots , a_{k-1})=0$, entonces no se $i < j < k$ de manera tal que los puntos de $a_i, a_j$ son de diferente color. Un polinomio es $\kappa$-inevitable si no es $\kappa$-evitable.

De hecho, $p(x_0, x_1,\cdots , x_{k-1})$ es evitable si la cromática número $\chi (H)$ de su cero hypergraph $H$ es contable, y es $\kappa$-evitables si $\chi (H)\leq\kappa$.

Ejemplo 1. Para cada una de las $k<\omega$ y ordinal $\alpha$, el polinomio, $x_0+\cdots+x_{k}-x_{k+1}-kx_{k+2}$, en Fox' teorema es una $(k + 3, 1)$-ary polinomio que es $\aleph_{\alpha}$-evitables si y sólo si $2^{\aleph_0}\leq \aleph_{\alpha+k}$.

Ejemplo 2. El $(3, n)$-ary polinomio $p(x, y, z)=||x-y||^2-||y-z||^2$, para $2\leq n<\omega$ donde $||.||$ denota la norma Euclídea en $\mathbb{R}^n$, es evitable.

Teorema 1. Para cada una de las $n < w$ hay una contables de la partición de $\mathbb{R}^n$ que evita todos los evitable $(-, n)$-ary polinomio sobre $\mathbb{Q}$.

Teorema 2. Asumiendo $2^{\aleph_0}\geq \aleph_{m}$, cada evitables polinomio es $m$-evitable.

Teorema 3. Asumiendo $2^{\aleph_0}\leq \aleph_{m}$ cada $m$-evitable polinomio es evitable.

Corolario. Los siguientes tipos de retención:

(a) Asumiendo $2^{\aleph_0}\geq \aleph_{m}$, un polinomio es evitable iff es $m$-evitable.

(b) Suponiendo que el $2^{\aleph_0}\leq \aleph_{m}$, un polinomio es evitable iff es $\omega$-evitable.