Los regímenes que "tienen suficientes libres locales" están necesariamente separados

Question

Permítanme motivar un poco mi pregunta.

Thm . Dejemos que $X$ sea un esquema regular localmente noetheriano de dimensión finita. Si $X$ tiene suficientes libres locales, entonces el homomorfismo natural $K^0(X)\longrightarrow K_0(X)$ es un isomorfismo.

Un esquema localmente noetheriano tiene suficientes libres locales si cada gajo coherente es el cociente de un gajo coherente localmente libre, $K^0(X)$ denota el grupo de Grothendieck de los haces vectoriales en $X$ y $K_0(X)$ denota el grupo de Grothendieck de las láminas coherentes en $X$ .

El teorema anterior se muestra como sigue.

Por la regularidad (¡y la dimensión finita!) de $X$ podemos construir una resolución finita por un procedimiento estándar. (Sobreponer al núcleo en cada etapa con un haz vectorial.) Entonces la "característica de Euler" asociada a esta resolución es inversa al morfismo natural.

Ahora, estaba buscando en la literatura (el libro de Weibel básicamente) y vi que este teorema aparece con la condición adicional de separabilidad. (Edición: Esto no es necesario. La cuestión es que los esquemas noetherianos que tienen suficientes locales libres están semiseparados).

Ejemplo . Tomemos el plano proyectivo $X$ con un doble origen. Entonces $K^0(X) \cong \mathbf{Z}^3$ mientras que $K_0(X) \cong \mathbf{Z}^4$ .

Ejemplo . Tomemos el plano afín $X$ con un doble origen. Entonces $K^0(X) \cong \mathbf{Z}$ mientras que $K_0(X) \cong \mathbf{Z}\oplus \mathbf{Z}$ .

Así que pensé que debía estar perdiéndome algo... Por eso pregunto:

Q . ¿Están separados los esquemas localmente noetherianos que tienen suficientes libres locales?

EDITAR .

La respuesta a esta pregunta es "No", como muestra el ejemplo de Antoine Chambert-Loir.

A partir de la respuesta de Philipp Gross, llegamos a la conclusión de que un esquema noetheriano que tiene suficientes libres locales es semiseparado. Esto significa que, para cada par de subconjuntos abiertos afines $U,V\subset X$ se sostiene que $U\cap V$ es afín. Obsérvese que los esquemas separados son semi-separados y que el ejemplo de Antoine también es semi-separado.

Echando un vistazo al artículo de Totaro citado por Philipp Gross, vemos que un esquema noetheriano regular que esté semi-separado tiene suficientes libres locales. (¿Tienen los esquemas regulares semi-separados y localmente noetherianos suficientes libres locales?)

Esto fue (en cierto modo) también remarcado por Hailong Dao. Menciona el resultado de Kleiman e independientemente de Illusie. Recientemente, Brenner y Schroer observaron que su prueba funciona también con $X$ semi-separado localmente noetheriano $\mathbf{Q}$ -factorial. Véase la página 4 del documento de Totaro. En resumen, separado no es realmente necesario, pero semiseparado sí.

Así, podemos concluir lo siguiente.

Supongamos que $X$ es un esquema regular y de dimensiones finitas.

Si $X$ tiene suficientes libres locales, entonces $K^0(X) \longrightarrow K_0(X)$ es un isomorfismo. Por ejemplo, $X$ es noetheriano y semiseparado.

De todos modos, gracias a todos por sus respuestas. Me han ayudado mucho.

Answer 1

La propiedad de que toda gavilla coherente admite una suryección desde una gavilla coherente localmente libre se conoce también como la resolución propiedad .

El teorema puede refinarse como sigue:

Todo noetheriano, localmente $\mathbb Q$ -esquema factorial con diagonal afín (equiv. semisemismas) tiene la propiedad de resolución (donde los haces vectoriales de resolución se componen de haces de líneas).

Esta es la Proposición 1.3 del siguiente documento:

Brenner, Holger; Schröer, Stefan Familias amplias, espectros multihomogéneos y algebraización de esquemas formales. Pacific J. Math. 208 (2003), no. 2, 209--230.

Encontrará un análisis detallado de la propiedad de resolución en

Totaro, Burt. La propiedad de resolución para esquemas y pilas. J. Reine Angew. Math. 577 (2004), 1--22

Totaro demuestra en la Proposición 3.1. que todo esquema (o pila algebraica con estabilizadores afines) tiene diagonal afín si satisface la propiedad de resolución.

Lo contrario también es cierto para los esquemas suaves:

Propuesta 8.1 : Dejemos que $X$ sea un esquema suave de tipo finito sobre un campo. Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $X$ tiene una diagonal afín.
2. X tiene la propiedad de resolución.
3. El mapa natural $K_0^{naive} \to K_0$ es suryente.

Answer 2

En realidad, la implicación debería ser inversa: un esquema noatheriano regular separado tiene suficientes libres locales (esto es el ejercicio 6.8, capítulo III Hartshorne). Así que la hipótesis es ciertamente necesaria para la prueba.

EDIT: La afirmación de Hartshorne asume que X es integral, pero esto no es necesario: véase SGA 6, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 y 2.2.7.1 (página 168-172 aquí ). En particular, se necesita la separatividad y el factorial local (que se deduce de la regularidad) para demostrar que cualquier gajo coherente es un cociente de una suma directa de haces de líneas (para una declaración precisa y un ejemplo, véanse 2.2.6 y 2.2.6.1).

En resumen, el enunciado del teorema es : Para $X$ un esquema regular, noetheriano y separado se tiene $K_0(X) \cong K^0(X)$ .

La respuesta a tu pregunta es no, como ha señalado Antoine.

Answer 3

Esto no responde a su pregunta, pero puede valer la pena notar que cualquier haz de vectores $E$ en el plano afín $X$ con doble origen es trivial. En efecto, la imagen inversa de $E$ a través de los dos mapas naturales $u_i\colon A^2\rightarrow X$ son haces vectoriales en $A^2$ por lo que son triviales. La condición de encolado en $X\setminus\{o_1,o_2\}$ ( $o_1,o_2$ son los dos orígenes) es un automorfismo del haz de líneas trivial en $A^2\setminus\{o\}$ por lo que se extiende a un automorfismo en $A^2$ por Hartogs. Esto implica que el haz vectorial inicial es trivial.

Por cierto, el afín línea con doble origen ciertamente tiene suficiente localmente libera...