Como Charles indica, "los módulos de la pila de $G$-paquetes en $E$" no es la cosa correcta a considerar, especialmente si usted no está trabajando sobre $\mathbf{C}$. Esto es para los dos (no relacionados) razones:
1) El objeto geométrico $M_{G}$ que se asocia a un grupo de $G$ no es algo que se puede acceder directamente (al menos por la construcción del yo sepa): lo que usted puede acceder en cambio, es el anillo de funciones globales
en $M_{G}$, y tal vez el mundial de secciones de un par de otras poleas (como la línea de paquetes que se están preguntando acerca de). En consecuencia, es difícil decir la diferencia entre los módulos de la pila de $G$-paquetes y su gruesa espacio de moduli. Permítanme ignorar esto en lo que sigue. (Más precisamente, en vez de contestar a la pregunta "¿qué objeto geométrico y de la línea de paquete hace elíptica cohomology producir?", Voy a responder a la pregunta "¿cómo puedo escribir un objeto geométrico y de la línea de paquete cuya global secciones están relacionadas con la $2$-equivariant elíptica cohomology?"
2) Diciendo: "$M_G$ es el de los módulos de la pila de $G$-paquetes" en realidad no tiene sentido, porque $G$ es un compacto de Lie del grupo en lugar de un algebro-objeto geométrico. Una afirmación más precisa es "$M_G$ es el de los módulos de la pila de $G(1)$-paquetes", donde si $G$ está conectado compacto de Lie del grupo,
$G(1)$ denota la división algebraica de grupo en la misma raíz de referencia.
(Ejemplo: si $G = U(n)$,, a continuación,$G(1) = GL_n$.)
Generalmente, esto no tiene sentido si $G$ no está conectado, por ejemplo si $G$ es un grupo finito. Sin embargo, puede hacerse una idea de si $G$ es de un número finito de abelian grupo (por ejemplo, si $G = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$,, a continuación,$G(1) = \mu_{n}$; en este caso, $G(1)$-paquetes en $E$ corresponden a $n$-torsión puntos en la doble abelian variedad, que se acaba de $E$ nuevo: este recupera lo que dijo Charles. Tenga en cuenta que nos encontramos problema 1) aquí:
el esquema de $n$-torsión puntos en $E$ es una gorda - espacio de moduli de
$\mu_n$-paquetes en $E$).
Para $G$ de un número finito de nonabelian grupo, realmente no se puede hacer sentido de $G(1)$.
Sin embargo, usted todavía puede hacer sentido de una $G(1)$-bundle en $E$, al menos cuando la orden de $|G|$ es invertible en $R$. Para explicar esto, permítanme asume por simplicidad que $R$ es algebraicamente cerrado campo de característica cero, y tratar de describir todo en la forma en que es invariante bajo automorfismos de $R$. Deje $\Lambda$ denotar la etale grupo fundamental de la $E$: este es un módulo de rango $2$ sobre el anillo
$\widehat{ \mathbf{Z} }$ de profinite enteros. El dato de
un $G$-bundle en $E$ (hasta el isomorfismo) es equivalente al dato de
mapa de $\Lambda \rightarrow G$ (hasta conjugacy). Así se puede definir
el dato de $G(1)$-bundle en $E$ (hasta el isomorfismo) a los datos de un mapa de $\Lambda(-1) \rightarrow G$ (hasta conjugacy). Aquí
$\Lambda(-1)$ indica el giro de $\Lambda$ por la inversa de la cyclotomic carácter. En el lenguaje de etale cohomology, $\Lambda(-1)$ es sólo $H^{1}(E; \widehat{\mathbf{Z}})$.
Así que ese es el tipo de dato de que el $M_{G}$ se supone que para clasificar.
Llegar a identificar a $M_{G}$ con los módulos de la pila de $G$-paquetes en $E$
si usted elige un sistema compatible de raíces de la unidad en la $R$, por ejemplo, tomando $R = \mathbf{C}$).
Ahora supongamos que tienes un nivel de $k$ a $G$, que podemos identificar con un elemento de $H^{4}(BG; \mathbf{Z} ) = H^3(BG; \mathbf{Q} / \mathbf{Z} )$. Deje $T$ denotar la profinite torus $B \Lambda(-1)$. Adecuadamente
interpeta, tenemos $H_2(T) = H^2(E) = \widehat{ \mathbf{Z} }(-1)$,
y $M_{G}$ clasifica los mapas de $T \rightarrow BG$. Ahora puede aplicar la construcción que Qiaochu sugerido: tire hacia atrás el nivel de a $T$ e integrar para obtener una clase en $H^1( Spec R, (\mathbf{Q} / \mathbf{Z})(1) )$. Por supuesto, que la clase va a ser trivial, pero si haces todo en el nivel de cochains en lugar de cohomology clases que usted va a obtener el dato de una $( \mathbf{Q} / \mathbf{Z} )(1) = \mu_{\infty}(R)$-torsor,
que determina un $R$-line.
Si te digo todo esto con cuidado, usted va a terminar con algo con sentido siempre como $|G|$ es invertible en $R$ (si $|G|$ no es invertible en $R$, entonces no sé una construcción que evita elíptica cohomology, aunque en muchos casos se obtienen respuestas que se comportan bien en pura geometría algebraica; por ejemplo, cuando se $G$ es un grupo simétrico y el nivel es cero). No creo que tenga sentido para las curvas de mayor género: en la discusión anterior, es importante que $\pi_{1} E$ es abelian.
