Cubriendo un hexágono

Question

Para $\epsilon > 0$ suficientemente pequeño, puede un hexágono regular con lados de longitud $1 + \epsilon$ será cubierto por siete triángulos equilátero con lados de longitud $1$?

Motivación: Conway y Soifer mostró que un triángulo equilátero con lados de $n + \epsilon$ puede ser cubierto con $n^2 + 2$ triángulos. Se conjetura que este es el mejor posible, es decir, que no puede ser cubierto por $n^2 + 1$ triángulos. Esto es bastante claro para $n=1$ e $n=2$, pero el problema parece ser abierto incluso para $n=3$. El hexágono me he preguntado es sobre una subestructura de la $n=3$ caso que podría ser más manejable, pero todavía puede capturar algunas de las dificultades de la $n=3$ y el mayor de los casos.

Answer 1

El caso del hexágono es exactamente el problema que es Alejandro y me planteó en: Karabash, D., y Soifer, R., En la cobertura de Trigons, Geombinatorics XV(1) (2005), 13-17.

Hexagon es un tipo de 6-trigon (n-trigon es n conectados triángulos de la triangulación); n-trigons para n<6 son triviales recuento de vertecies y, por tanto, 6-trigon es el más simple estuche duro.

Me dio esta pregunta a varios alumnos como uno de los posibles problemas, pero considero que es un problema difícil a pesar de que yo vea un claro de la no-solución elegante para el hexágono problema; uno sólo tiene que trabajar duro: 7, que abarcan los triángulos pueden ser descritos por 21 variables (x_i,y_i,r_i) para i=1,...,7 donde x_i,y_i son las coordenadas del centro y r_i es la rotación. A continuación, las intersecciones con los lados definir una clara regiones que uno tiene que analizar; uno puede escribir programa de ordenador que comprueba todas las regiones y que hexágono nunca está cubierta a través de la comprobación de las condiciones. Esto por supuesto no es algo que yo esperaría de un estudiante de secundaria que hacer, es por eso que me dio este problema con 2 estrellas diciendo que es más probable es que no es un buen proyecto, a menos que usted consigue algunos muy nueva idea porque me han dado a esta pregunta a los chicos con la OMI oro, putnam becarios, y la parte superior de ciencias de la computación chicos sin ningún progreso.

Si usted recibe cualquier progreso que va a ser muy interesada, es también un "billete de 50 dólares problema" :).

Answer 2

Parece que Dmytro Karabash podría ser una fuente sobre este tema. 2010 NYU curso de conferencias que incluyen una charla por parte de él, cuya descripción coincide con su planteamiento del problema exactamente:
     
Varias posiblemente referencias relevantes:

Karabash, D., En El Soifer Cincuenta Dólares Problema, Parte I: La Construcción, Geombinatorics XVII(2) (2007), 68-77.

Karabash, D., En El Soifer Cincuenta Dólares Problema, Parte II: La Existencia de un Contraejemplo a la Conjetura, Geombinatorics XVII(3) (2008), 124-128.

Karabash, D., y Soifer, R., En la cobertura de Trigons, Geombinatorics XV(1) (2005), 13-17.

Answer 3

Esta no es una solución completa, pero algunas observaciones.

Considerar los puntos en las esquinas del hexágono, y el punto central, ya que estas son todas las pie $1+\epsilon$ unos de otros. Claramente, un triángulo no puede cubrir más de uno de estos puntos, por lo que cada triángulo debe cubrir exactamente uno de estos puntos especiales.

El perímetro del hexágono es $6+6\epsilon$, pero el diámetro máximo de un triángulo es uno. Por lo tanto, seis triángulos no pueden cubrir la totalidad de la frontera, y el séptimo triángulo que cubre el punto medio debe cubrir la tapa. (Esta brecha es un único intervalo en una de las aristas de contorno.)

Por lo tanto, los primeros seis triángulos deben cubrir todas las seis exterior vértices, y dejar un hueco en el límite de llenado por el último triángulo.