Estoy revisando un artículo, "Primeros representados por polinomios cuadráticos en dos variables" [1] que intenta caracterizar la densidad de los primos en polinomios cuadráticos de dos variables. Su aparente mejora con respecto a trabajos anteriores es que cubre no sólo las formas cuadráticas más una constante, sino las formas cuadráticas más las formas lineales más una constante.
Me gustaría saber cuál es el estado actual del conocimiento para este tipo de problemas.
- En este documento se aborda únicamente el caso de los polinomios que "dependen esencialmente de dos variables". Esto seguramente no ha sido mejorado, si no la conjetura H-L E, F, etc. habría sido resuelta.
- El documento sólo permite números enteros, no medios números enteros, como coeficientes, y por lo tanto no da el número de primos, por ejemplo, en A117112 .
- No da la constante (¡o prueba que existe una constante!) para las densidades que encuentra.
El tercero es mi principal interés en este momento. Se agradecerían referencias, ya sea a documentos de investigación, documentos de encuestas o textos estándar. También tengo algún interés en el caso del cubo, si es que se sabe algo. Parece que incluso caracterizar qué cúbicos de dos variables representan un número infinito de primos está abierto... Ciertamente las condiciones que Iwaniec da para las cuadráticas de dos variables no bastan para dar una infinidad de primos.
Por ejemplo, con el polinomio $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+ex+fy+g$ el ajuste $ \Delta =b^2-4ac$ y $D=af^2-bef+ce^2+g \Delta $ y $C(x)= \sum_ {p=P(x,y) \le x}$ 1, [1] muestra que
$$ \frac {x}{( \log x)^{1.5}} \ll C(x) \ll\frac {x}{( \log x)^{1.5}}$$
para todos $P$ con $D \neq0 $ y $ \Delta $ no un cuadrado, pero se sabe que $C(x) \sim kx/( \log x)^{1.5}$ para algunos $k$ ? ¿Son los valores de $e$ o $E$ conocido de tal manera que
$$e< \liminf\frac {C(x)( \log x)^{1.5}}{x}$$ o $$ \limsup\frac {C(x)( \log x)^{1.5}}{x}< E$$ ?
De manera similar, si $D=0$ o $ \Delta $ es un cuadrado, ¿sabemos cuándo $$ \ell = \lim\frac {C(x) \log x}{x}$$ existe y cuál es su valor?
Pregunta relacionada: ¿A quién debo citar para estos resultados? Nunca estoy seguro de cuándo podría haber habido descubrimientos simultáneos u otras razones para cuestiones prioritarias.
1] Iwaniec, H. (1974). Primeros representados por polinomios cuadráticos en dos variables . Acta Aritmética 24 pp. 435-459.
[2] Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. (1923). Algunos problemas de 'Partitio numerorum'; III: Sobre la expresión de un número como suma de primos. Acta Mathematica 44 :1, pp. 1-70.