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Primeros representados por polinomios cuadráticos de dos variables

Estoy revisando un artículo, "Primeros representados por polinomios cuadráticos en dos variables" [1] que intenta caracterizar la densidad de los primos en polinomios cuadráticos de dos variables. Su aparente mejora con respecto a trabajos anteriores es que cubre no sólo las formas cuadráticas más una constante, sino las formas cuadráticas más las formas lineales más una constante.

Me gustaría saber cuál es el estado actual del conocimiento para este tipo de problemas.

  1. En este documento se aborda únicamente el caso de los polinomios que "dependen esencialmente de dos variables". Esto seguramente no ha sido mejorado, si no la conjetura H-L E, F, etc. habría sido resuelta.
  2. El documento sólo permite números enteros, no medios números enteros, como coeficientes, y por lo tanto no da el número de primos, por ejemplo, en A117112 .
  3. No da la constante (¡o prueba que existe una constante!) para las densidades que encuentra.

El tercero es mi principal interés en este momento. Se agradecerían referencias, ya sea a documentos de investigación, documentos de encuestas o textos estándar. También tengo algún interés en el caso del cubo, si es que se sabe algo. Parece que incluso caracterizar qué cúbicos de dos variables representan un número infinito de primos está abierto... Ciertamente las condiciones que Iwaniec da para las cuadráticas de dos variables no bastan para dar una infinidad de primos.

Por ejemplo, con el polinomio $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+ex+fy+g$ el ajuste $ \Delta =b^2-4ac$ y $D=af^2-bef+ce^2+g \Delta $ y $C(x)= \sum_ {p=P(x,y) \le x}$ 1, [1] muestra que

$$ \frac {x}{( \log x)^{1.5}} \ll C(x) \ll\frac {x}{( \log x)^{1.5}}$$

para todos $P$ con $D \neq0 $ y $ \Delta $ no un cuadrado, pero se sabe que $C(x) \sim kx/( \log x)^{1.5}$ para algunos $k$ ? ¿Son los valores de $e$ o $E$ conocido de tal manera que

$$e< \liminf\frac {C(x)( \log x)^{1.5}}{x}$$ o $$ \limsup\frac {C(x)( \log x)^{1.5}}{x}< E$$ ?

De manera similar, si $D=0$ o $ \Delta $ es un cuadrado, ¿sabemos cuándo $$ \ell = \lim\frac {C(x) \log x}{x}$$ existe y cuál es su valor?

Pregunta relacionada: ¿A quién debo citar para estos resultados? Nunca estoy seguro de cuándo podría haber habido descubrimientos simultáneos u otras razones para cuestiones prioritarias.

1] Iwaniec, H. (1974). Primeros representados por polinomios cuadráticos en dos variables . Acta Aritmética 24 pp. 435-459.

[2] Hardy, G. H., & Littlewood, J. E. (1923). Algunos problemas de 'Partitio numerorum'; III: Sobre la expresión de un número como suma de primos. Acta Mathematica 44 :1, pp. 1-70.

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Allen Puntos 3497

La obra de referencia moderna sobre el tema parece ser [1], pero sólo dedica una página y media al tema de los primos en polinomios cuadráticos multivariados (págs. 396-397). Más de la mitad de este espacio está dedicado al resultado de Iwaniec de 1974. El balance menciona la aplicación de Sarnak al problema de Apolonio y un resultado de "J. Cho y H. Kim" sobre el conteo de primos en $\mathbb{Q}[\sqrt{-2}].$ Así que no hay nada ahí.

Pleasants [2] muestra que, sujeto a una condición de Davenport-Lewis [3] en el $h^*$ (una medida de complejidad en la parte de la forma cúbica), los polinomios cúbicos multivariados tienen el número esperado de primos. Desafortunadamente esta condición requiere (como condición necesaria pero insuficiente) que haya al menos 8 variables. Además, cuenta doblemente los primos repetidos.

Goldoni [4] recientemente escribió una tesis sobre este tema general. Sus nuevos resultados (Capítulo 5) sobre el $h$ y $h^*$ Las invariantes facilitan el uso de los resultados de Pleasants pero no los extienden a los polinomios cúbicos con menos de 8 variables.

Por supuesto que sería negligente si no mencionara el trabajo pionero de Heath-Brown [5], construyendo en Friedlander & Iwaniec [6]. Estos resultados sin duda despejarán el camino para una investigación más amplia, pero hasta ahora no se han generalizado.

Así que en resumen parece que:

  • No se sabe nada más sobre los primos representados por polinomios cuadráticos.
  • Aparte de $x^3+2y^3$ En el caso de los polinomios cúbicos, no se sabe casi nada sobre qué primos están representados por polinomios cúbicos, aunque se conocen algunos resultados sobre la frecuencia con la que estos polinomios adquieren valores primos siempre que $h^*$ y por lo tanto el número de variables es lo suficientemente grande.

En el lado histórico, por supuesto Fermat es responsable de la prueba del caso $x^2+y^2$ . Tengo referencias que dicen que Weber [7] y Schering [8] manejaron el caso de las formas cuadráticas binarias (primitivas) con discriminantes no cuadrados, pero no he leído los periódicos. Motohashi [9] demostró que hay $\gg n/\log^2 n$ primos de la forma $x^2+y^2+1$ hasta $n$ aparentemente (?) el primer resultado de este tipo con un término constante. Él conjeturó que el verdadero número era

$$\frac{n}{(\log n)^{3/2}}\cdot\frac32\prod_{p\equiv3(4)}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1/2}\left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$$

pero por lo que sé, la constante aún no ha sido probada ni siquiera para esta forma especial.

Edita : Aparentemente Bredihin [10] demostró la infinidad de primos de la forma $x^2+y^2+1$ algunos años antes de Motohashi. Sin embargo, sólo dio un ligero límite superior en su densidad: $O(n/(\log n)^{1.042}).$ (Motohashi mejoró el exponente a 1.5 en un artículo posterior.)


[1] Friedlander, J. e Iwaniec, H. (2010). Opera de Cribro. AMS.

[2] Pleasants, P. (1966). La representación de los primos por polinomios cúbicos , Acta Aritmética 12 pp. 23-44.

[3] Davenport, H. y Lewis, D. J. (1964). "Ecuaciones cúbicas no homogéneas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres 39 pp. 657-671.

[4] Goldoni, L. (2010). Números primos y polinomios . Tesis doctoral, Universidad de Trento.

[5] Heath-Brown, D. R. (2001). Los primos representados por $x^3 + 2y^3$ . Acta Mathematica 186 pp. 1-84.

6] Friedlander, J. e Iwaniec, H. (1997). Usar un tamiz sensible a la paridad para contar los valores primarios de un polinomio . Las actas de la Academia Nacional de Ciencias 94 pp. 1054-1058.

[7] Weber, H. (1882). "Prueba del teorema que, etc.". Annalen matemático 20 págs. 301-329.

[8] Schering, E. (1909). "Prueba del teorema de Dirichlet". Collected Mathematical Works, vol. 2, pp. 357-365.

[9] Motohashi, Y. (1969). Sobre la distribución de los números primos que son de la forma $x^2+y^2+1$ . Acta Aritmética 16 págs. 351-364.

[10] Bredihin, B. M. (1963). Problemas de aditivo binario de tipo II indeterminado. Análogo del problema de Hardy y Littlewood (Ruso). Izv. Akad. Nauk. SSSR. Ser. Mat. 27, pp. 577-612.

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