¿Por qué las abejas crear células hexagonales ? (Matemático)

Question

Pregunta 0 ¿hay algún matemático de los fenómenos que están relacionados con la forma de panal de celdas?

Pregunta 1 tal vez hexagonal de celosías de satisfacer ciertas condiciones de optimalidad(s) que están relacionados con ella?

La razón para hacer - algunas consideraciones con el famoso "K-means" algoritmo de clustering en el avión. También tiende a producir algo similar a los hexágonos que, por otra parte, tal vez, descartar tecnicismos, celosía hexagonal es óptimo para la K-means funcional, que es MO362135 pregunta.

Pregunta 2 Puede también estar relacionada con la abeja de la construcción?

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Google da un montón de fuentes en la pregunta. Pero muchos de ellos se centran en la no-matemático de los lados de la cuestión - cómo son las abejas ser capaz de producir dicho bien precisa las formas de hexágonos? ¿Por qué es útil para ellos? Etc.

Permítanme citar la relativamente reciente, el papel de la Naturaleza de 2016, "La forma hexagonal de panal de las células depende de la construcción de comportamiento de las abejas", Francesco Nazzi:

Resumen. La forma hexagonal de la abeja de la miel de las células ha atraído la la atención de los seres humanos durante siglos. Ahora se acepta que las abejas construyen células cilíndricas que más tarde se transforman en prismas hexagonales a través de un proceso que está siendo objeto de debate. Las primeras explicaciones que implican la los geómetras las habilidades de abejas han sido abandonados en favor de nuevas las hipótesis que implican la acción de las fuerzas físicas, pero los datos más recientes sugieren que la mecánica de la conformación de las abejas juegan un papel. Sin embargo, la observa la geometría sólo puede surgir si isodiamétricos células son previamente organizar de manera que cada uno está rodeado por otros seis similar las células; aquí le sugiero que esto es una consecuencia de la construcción de programa adoptado por las abejas y proponer un posible comportamiento de la regla en última instancia, de la contabilidad de la forma hexagonal de las células de la abeja.

Answer 1

Hay dos principios en juego aquí: un principio matemático que favorece hexagonal de redes, y un principio físico que favorece a una red con paredes rectas.

El principio matemático que prefiere hexagonal plana redes es el teorema de Euler aplicado a las dos torus $\mathbb{T}^2$ (para evitar el límite de los efectos), $$V-E+F=0,$$ con $V$ el número de vértices, $E$ el número de aristas, y $F$ el número de células. Debido a que cada vértice es incidente con tres aristas$^\ast$ y cada borde es incidente con dos vértices, tenemos $2E = 3V$, por lo tanto $E/F=3$. Desde cada borde es adyacente a dos células, el promedio de número de lados por celda es de 6 --- por tanto, una red uniforme debe ser hexagonal.

_{$^\ast$ Un vértice con un mayor número de coordinación de 3 es mecánicamente inestable, se va a dividir, como se indica en el diagrama inferior a la energía de la superficie.}

_{azul: el total de la longitud de la arista de la izquierda del diagrama (diagonales de una unidad cuadrada), de oro: el total de la longitud de la arista de la derecha del diagrama, como una función de la longitud de la $x$ de la división.}

El teorema de Euler permite curvas en lugar de rectas paredes de las células. El principio físico que prefiere las paredes rectas es la minimización de la superficie.

_{fuente: Abeja peines: cómo la circular de transformación de células en redondeado hexágonos}

Un experimento que parece ser directamente relevantes para los panales de abeja es la transformación de un cerrado lleno de paquete de circular pajitas de plástico en un patrón hexagonal en el calentamiento por conducción hasta el punto de fusión del plástico. Asimismo, la abeja peines inicio como un cerrado lleno de paquete de células circulares (panel a). La cera de las paredes de las células se calientan a la temperatura de fusión por las abejas y, a continuación, convertirse directamente a reducir la superficie de energía (panel b).

Answer 2

No es este el teorema de Thomas Hales, a partir de 1999, lo que demuestra la Conjetura de nido de abeja:

Teorema. Deje $\Gamma$ ser localmente finito gráfico en $\mathbb{R}^2$, que consta de curvas suaves, y tal que $\mathbb{R}^2\setminus \Gamma$ tiene infinitamente muchos limitada de los componentes conectados, todos los de la unidad de área. Deje $C$ ser la unión de estos delimitada componentes. Entonces $$ \limsup_{r \to \infty} \frac{ \mathrm{perim}\, (C \cap B(0, r))}{\mathrm{área de}\, (C \cap B(0, r))} \geq \sqrt[4]{12} $$ La igualdad se alcanza para el regular hexagonal suelo de baldosas.

Así que, básicamente, es un camino óptimo para la partición del plano en celdas de igual área, utilizando menos cantidad de perímetro. Este no tiene en cuenta el hecho de que la red de nido de abeja es 3d y no exactamente cilíndrico con hexagonal de la sección transversal.

El papel de la introducción tiene un poco de discusión https://arxiv.org/abs/math/9906042

Answer 3

No es sólo el 2d esfera de embalaje? Si uno asume que las larvas de las necesidades de un disco de radio fijo a crecer de una forma adulta y que las abejas quieren tener tantas celdas como sea posible, a continuación, la red hexagonal es la óptima.

Answer 4

Aquí es un clásico artículo de L. Fejes Toth sobre este tema.

https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183526078

Answer 5

He aquí un párrafo de la VIDA DE LA ABEJA (1901) de Maurice Maeterlinck:

"Sólo hay", dice el Dr. Reid, "tres posibles figuras de las células que pueden hacerlos todos iguales y similares, sin ningún inútil intersticios. Estos son los equilátero triángulo, el cuadrado, y la regular hexágono. Los matemáticos saben que no existe una cuarta forma posible en que un avión se ser cortados en pequeños espacios que serán iguales, similares, y regular, sin inútiles espacios. De las tres figuras, el hexágono es la más adecuada para la comodidad y la fuerza. Las abejas, como si supieran de esto, hacer que sus células hexágonos regulares.

"Una vez más, se ha demostrado que, al hacer que los fondos de las células constan de tres planos de la reunión en un punto, hay un ahorro de material y mano de obra en ninguna manera despreciable. Las abejas, como si familiarizado con estos principios de la geometría sólida, les siguen con mayor precisión. Es un curioso problema matemático ¿a qué ángulo exacto de los tres planos que componen la parte inferior de una celda debe cumplir, con el fin de hacer el mayor número posible de ahorro, o el menor gasto de material y mano de obra.* Este es uno de los problemas que pertenecen a las partes más altas de las matemáticas. Que en consecuencia, se ha resuelto por algunos matemáticos, en particular por la ingeniosa de Maclaurin, por un fluctionary de cálculo que se encuentra en las Transacciones de la Sociedad Real de Londres. Él ha determinado con precisión el ángulo requerido, y se encontró, por el más exacto de la mensura de que el sujeto podría admitir, que es el ángulo en el que los tres planos en la parte inferior de la celda de un panal de miel en realidad a conocer."

Terry Tao y Allen Knutson tienen algunos papeles sobre la aplicación de nido de abeja en matemáticas:

Knutson, Allen; Tao, Terence, El panal modelo de $\text{GL}_n(\mathbb C)$ tensor de productos. I: la Prueba de la saturación de la conjetura, J. Am. De matemáticas. Soc. 12, Nº 4, 1055-1090 (1999). ZBL0944.05097.

Knutson, Allen; Tao, Terence, Panales y sumas de Hermitian matrices., Los Avisos De La Mañana. De matemáticas. Soc. 48, Nº 2, 175-186 (2001). ZBL1047.15006.