Yo había estado buscando últimamente en subgrupos de Sylow de algunos grupos específicos, y me puse a preguntarse acerca de por qué subgrupos de Sylow de existir. Estoy muy familiarizado con la prueba de los teoremas (algo que todo el mundo aprende en el comienzo de su curso de álgebra abstracta) -- por cierto mi favorita es la prueba de que el uno por Wielandt -- pero la declaración de los tres teoremas de Sylow todavía parece algo milagroso. Lo consiguió Sylow imaginar que eran verdaderas (especialmente la primera -, la existencia de un subgrupo de sylow)? Incluso en el caso más sencillo de Cauchy teorema sobre la existencia de un elemento de orden $p$ en un subgrupo finito cuyo orden es un múltiplo de $p$ aunque es fácil demostrar (con el derecho truco) también me parece un poco increíble. Creo que a veces la parte más difícil de una prueba de un teorema es la de creer que pueda ser cierto. Entonces, ¿qué puede reforzar la creencia de la existencia de subgrupos de Sylow?
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Victor, usted debe comprobar fuera de Sylow del papel. Es en Matemáticas. Annalen 5 (1872), 584--594. Estoy mirando mientras escribo esto. Él los estados del teorema de Cauchy en la primera frase y, a continuación, dice: "Este importante teorema está contenido en otro más general del teorema: si la orden es divisible por un primo de alimentación, a continuación, el grupo contiene un subgrupo de ese tamaño." (En particular, aviso de Sylow literal de la primera es el teorema más general que la fórmula tradicional.) Así fue, quizás, en parte inspirado por el conocimiento de Cauchy teorema.
Sylow también incluye en su papel de un teorema de Mathieu en grupos transitivas actuar sobre los conjuntos del primer poder de la orden (ver pág. 590), lo que se da una nueva prueba por el trabajo en este papel. Teoremas como Mathieu es posible que le ha llevado a investigar los subgrupos del primer poder de la orden en general finito grupo (de sustituciones).
Los teoremas de Sylow son finitos grupo de análogos de un montón de resultados acerca de "máxima unipotentes subgrupos" algebraica de los grupos. Básicamente, los subgrupos de Sylow jugar un papel análogo al papel desempeñado por la máxima unipotentes subgrupos.
En el caso de que el grupo es el grupo lineal general, la máxima unipotentes subgrupo puede ser tomado como el grupo de triangular superior matrices con 1s en la diagonal, por ejemplo. Hay existencia, conjugacy y la dominación de los resultados de estas análoga a la existencia, conjugacy y la dominación de parte de Sylow de teoremas: máxima unipotents existen, cada unipotentes está contenida en un máximo de unipotentes, todos de máxima unipotents son conjugadas. El papel análogo a la "orden" es ahora interpretado por "dimensión".
El normalizador del subgrupo de Sylow desempeña el papel de la máxima conectado solucionable subgrupo, también llamado el Borel subgrupo (ver Borel de punto fijo teorema y la Mentira-Kolchin teorema). En el caso de que el grupo lineal general, este es el grupo de triangular superior invertible matrices.
No hay resultados similares para las álgebras de Lie demasiado, básicamente derivadas de Engel del teorema y de la Mentira del teorema.
De hecho, gran parte del estudio de simples grupos y su geometría se basa en esta interpretación geométrica de los subgrupos de Sylow, p-subgrupos, y sus normalizadores. Este estudio más profundo de la geometría/combinatoria de simple grupos se denomina análisis local en teoría de grupos y está estrechamente relacionado con el recientemente popular tema de la "fusión de sistemas", que son esencialmente el estudio de la conjugación de la acción de un grupo en subgrupos de un determinado subgrupo de Sylow.
AÑADIDO BASADAS EN el COMENTARIO de ABAJO: Para un campo finito $F_q$ donde q es una potencia de p, la máxima unipotentes subgrupo de $GL_n(F_q)$ es el $p$-subgrupo de Sylow. Originalmente tenía la intención de hablar de esto, pero se me olvidó.
Una extensión de la Vipul las ideas puede encontrarse en el artículo (no podía encontrar un enlace al pdf con google)
Subgrupo complejos por Peter Webb, p 349-365 en: ed. P. Fong, El Arcata Conferencia de las Representaciones de Grupos Finitos, AMS Actas de Simposios en las Matemáticas Puras 47 (1987).
Pero como Mariano ya se ha comentado, la analogía con la máxima unipotentes subgrupos del grupo lineal general probablemente no era Sylow de la motivación. Como se ha comentado antes, fue tal vez buscando la máxima $p$-subgrupos (es decir, de máxima con respecto a ser un $p$-subgrupo).
Este es también el hilo conductor de mis favoritos de la prueba de los teoremas de Sylow dada por Michael Aschbacher en su libro Teoría de grupos Finitos. Se basa en la del teorema de Cauchy (mejor probar usando J. H. McKay el truco de dejar a $Z_p$ actúan en el conjunto de todas las $(x_1, \dots, x_p) \in G^p$ cuyo producto es $1$ por la rotación de las entradas) y es en esencia como este:
El grupo $G$ actúa sobre el conjunto de $\mathrm{Syl}_p(G)$ de su máxima $p$-subgrupos por conjugación. Deje $\Omega$ ser (no trivial) en órbita con $S\in\Omega$. Si $P$ es un punto fijo de la acción restringida a $S$ entonces $S$ normaliza $P$ e $PS=SP$ es $p$-grupo. Por lo tanto $P=S$ por maximality de ambos $P$ e $S$, e $S$ tiene un único punto fijo. Como $S$ es $p$-grupo, todos sus órbitas tienen orden de $1$ o un múltiplo de la de $p$, en particular,$|\mathrm{Syl}_p(G)| = 1 \bmod p$. Todas las órbitas de $G$ son distintos sindicatos de órbitas de $S$ demostrando $\Omega = 1 \bmod p$ e $\Omega' = 0 \bmod p$ para todos los demás órbitas $\Omega'$ de % de$G$. Esto implica que $\Omega = \mathrm{Syl}_p(G)$, como $\Omega$ fue arbitraria no trivial de la órbita de $G$, mostrando que la acción de la $G$ es transitiva. El estabilizador de la $S$ en $G$ es su normalizador $N_G(S)$, y como la acción es transitiva $|G:N_G(S)| = |\mathrm{Syl}_p(G)| = 1 \bmod p$. Queda por demostrar que $p$ no divide $|N_G(S):S|=|N_G(S)/S|$. De lo contrario, por Cauchy teorema existe una trivial $p$-subgrupo de $N_G(S)/S$ cuyo preimagen bajo la proyección $N_G(S) \to N_G(S)/S$ es $p$-subgrupo correctamente contengan $S$ contradiciendo la maximality de $S$.
No sé si esta fue la motivación original, pero esto tiene algunas interesantes ideas que lo motivan: Resumen tonterías versiones de "combinatoria" grupo de teoría de preguntas
