Moneda lanzando juego de estrategia óptima

Question

Recientemente me hicieron esta pregunta en una entrevista, pero estaba completamente perplejo en cuanto a cómo empezar a responder a ella - me ha estado molestando desde entonces, y pensé que era una buena pregunta, así que espero que alguien por aquí me puede ayudar. Cualquier ayuda se agradece! Aquí va:

Usted comienza con $ 100 y usted lanza una moneda 100 veces. Antes de cada lanzamiento de elegir una estaca $S$ que no puede ser más que su saldo actual $x$ (por lo que su apuesta máxima para el primer sorteo es de £100). Si la moneda sale cara, usted gana $2S$ y su nuevo saldo es $x+2S$. Si sale cruz, usted pierde su apuesta y ha $x-S$. ¿Cómo elegir tu apuesta, así como para maximizar su espera que las ganancias del juego, no se incluye el saldo inicial?

Saludos,

Boris

Answer 1

Realmente es tan simple como "la apuesta es a su favor-la tome." $S=x$. Usted gana $100(3^{100}-1)$ con una probabilidad de $2^{-100}$ y pierden $100$, casi con certeza. Esto supone que alguien puede pagar mucho. La ganancia esperada es, a continuación, $\frac {3^{100}-1}{2^{100}}\cdot 100 -100(1-\frac 1{2^{100}})\approx 4\cdot 10^{19}$

Tal vez hacer esto menos increíble, imaginar un dos juego de ronda. Claramente en el último lanzamiento, usted quiere apostar todo lo que tiene, el aumento de su esperado fortuna por $50\%$. En el primer tiro, luego que su expectativa es $1.5(\frac {x-S}2+\frac {x+2S}2)=1.5(x+\frac S2)$ (habida cuenta de las normas) se maximiza cuando se $S=x$. Alternativamente, el resultado es el mismo si la intersección de los dos lanzamientos. Dado que debe ser todo en la última vuelta, usted debe en la primera también.

Answer 2

En mi opinión esto requiere para el Criterion de Kelly (http://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion). En este caso, la fracción de su riqueza que debe apostar es $\frac{0.5 \times 3-1}{3-1}$.

Answer 3

No estoy seguro de que usted escribió la explicación de la pregunta correctamente (por favor corríjanme si estoy equivocado), pero si usted apuesta S, luego a la derecha después de apuestas y antes de que la moneda es lanzada su riqueza es x-S.. ahora si el juego es tal que perder todo o ganar 2S, entonces su riqueza después de un lanzamiento de la moneda es la x-S x-S+2S=x+S con prob. 1/2 cada uno. En este caso, no importa cómo mucho usted apuesta su riqueza esperada será x y ya que estamos aversión al riesgo probablemente no quieres apostar nada.