Raíces de polinomios de Bernoulli - un patrón

Question

Contemplando una pregunta en math.SE, me he topado con esto:

Aquí, el punto etiquetado $n$ es esa raíz del $n$ El polinomio de Bernoulli que tiene la parte imaginaria positiva más pequeña.

¿Alguien conoce una explicación de este patrón? Específicamente, alguna periodicidad módulo 5 debe estar involucrada de alguna manera.

Answer 1

Se sabe que $B_n(x)$ tiene $\asymp \frac2{\pi e}n$ raíces reales (véase Veselov, A. & Ward, J. Sobre las raíces reales de los polinomios de Bernoulli y la función zeta de Hurwitz ) Probablemente significa que la primera raíz compleja "positiva" se convierte en real después de cada $\frac{\pi e}2=4.27\ldots$ pasos.

Answer 2

Para la curva límite formada por los ceros complejos de los polinomios de Bernoulli, véase Goh, Boyer, Sobre el atractor del cero de los polinomios de Euler (Adv. Appl. Math. 2007, doi: 10.1016/j.aam.2005.05.008 ). En realidad, los autores tratan los polinomios de Euler, estrechamente relacionados, y dicen que los polinomios de Bernoulli "se manejan fácilmente con las técnicas de este trabajo." La conexión se hace explícita en la página 21 de http://www.math.drexel.edu/~rboyer/talks/MIT_FINAL.pdf la curva límite de los polinomios de Bernoulli es la mitad de la de los polinomios de Euler. Quizás la respuesta a tu pregunta se pueda obtener a partir de esta curva.

Answer 3

(demasiado largo para un comentario)

Creo que no hay nada que ocurra en el módulo 5, al menos no en un sentido teórico de los números. Se trata, en primer lugar, de la impresión visual debido a que la mayoría de los segmentos que unen un punto $P_n$ a $P_{n+5}$ tienen una pendiente cercana a 0 (aproximadamente $-.06$ ), por lo que están geométricamente más cerca que, por ejemplo, $P_n$ y $P_{n+6}$ , lo que significa que percibimos fácilmente esos patrones como líneas "casi horizontales" (según la escala), ligeramente descendentes.
OMI lo que es más llamativo es el hecho de que el real partes muestran una progresión "muy cercana a la lineal" de aproximadamente 1/17 desde $P_n$ a $P_{n+1}$ y que cada 5 de ellos (de vez en cuando 6), la parte imaginaria, generalmente creciente, "salta" de nuevo a la parte inferior. Los puntos superiores (11, 32, 53, ...) están a 21 de distancia (de vez en cuando 26), con los puntos 116, 184, 231..., que "deberían" estar arriba pero provocan una distancia 26 en vez de 21, saltando aún más abajo. Esto me recuerda mucho a lo que ocurre al proyectar una curva sinusoidal envuelta en un cilindro ( Curvas de Lissajous ): Si se eligen puntos de la curva senoidal con coordenadas x linealmente progresivas, sus proyecciones se comportarán de forma muy similar a la $P_n$ aquí.
Debería haber alguna constante $\approx 5.2$ para el periodo medio de los saltos, por lo que la cuestión principal sería cómo encontrar esta constante, que no parece estar relacionada con $\frac{\pi e}2$ .