Es cada transitivo de ZF-modelo de altura inaccesible un truncamiento interior de un modelo?

Question

Deje $\kappa$ ser un cardinal inaccesible y deje $M \subseteq V_{\kappa}$ ser un interior de modelo de $V_{\kappa}$, es decir, un modelo transitivo de $\mathsf{ZF}$ que contiene todos los números ordinales hasta el $\kappa$.

Mi pregunta es si el modelo es siempre un rango de truncamiento interior de un modelo de $\mathbf V$ (definido por el uso de $M$ como parámetro). Equivalentemente, esta pregunta puede ser formulada de la siguiente manera:

Si $M \subseteq V_{\kappa}$ es un interior modelo de $V_\kappa$ luego $\mathbf L(M) \cap V_\kappa = M$ donde $\mathbf L(M)$ es el mínimo interior de modelo de $\mathbf V$ contiene $M$ ?

Si la respuesta a esta pregunta es negativa, tengo curiosidad por saber si puede haber un contraejemplo $M$ que es definible en $V_\kappa$ sin parámetros y/o que es un modelo de $\mathsf{ZFC}$. Si la respuesta a esta pregunta es positiva, tengo curiosidad por saber si sigue siendo positivo si debilitamos la suposición de que $\kappa$ es inaccesible a $\kappa$ ser mundanos.

Answer 1

Teorema: Vamos a $\kappa$ ser fuertemente inaccesible en $V$, de tal manera que $V \models ZFC$. Si $M\models ZF$,, a continuación,$L(M) \cap V_\kappa = M$.

Prueba: Vamos a demostrar por inducción sobre $\alpha < \kappa$ que $L(M) \cap V_\alpha = M \cap V_\alpha$.

Deje $x \in L(M) \cap V_{\alpha + 1}$, lo $x \subseteq M \cap V_\alpha$. Deje $\gamma$ ordinal tal que $x\in L_{\gamma}(M)$.

Vamos a encontrar $X \prec L_\gamma(M)$, tal que:

1. $x\in X$, $V_\alpha \subseteq X$,
2. $X \cap \kappa \in \kappa$
3. $X \cap M$ es transitiva y es igual a $M \cap V_\beta$ para algunos $\beta$

Esto es posible por el fuerte inaccessiblity de $\kappa$:

Definimos, por la inducción de la $n < \omega$, $X_n$. Deje $X_0 = M\cap V_{\alpha} \cup \{x\}$. Extender $X_0$ a $X_0'$ tal que $X_0'\prec L_\gamma(M)$ e $|X_0'| = |X_0| < \kappa$. Ahora, tome $X_1 \supseteq X_0'$ de manera tal que los supuestos 2 y 3 mantenga pulsado el botón ($M \cap X_1$ es transitiva e $X \cap \kappa$ es una variable ordinal). $|X_1| < \kappa$, por el inaccessiblity de $\kappa$. Deje $X_1 \subseteq X_1' \prec L_\gamma(M)$, y así sucesivamente. Deje $X$ ser $\bigcup X_n$.

Deje $\bar{X}$ ser el colapso transitivo de $X$. $\bar{X} = L_{\bar{\gamma}}(\bar{M})$ donde $\gamma < \kappa$ e $x\in \bar{X}$. Desde $M \cap X$ es transitiva, $\bar{M} = M \cap X$. Desde $M\cap X = M \cap V_\zeta$ para algunos $\zeta$, $\bar{M} = M \cap V_\zeta \in M$ (como $\zeta \leq \bar{\gamma} \in \kappa$). En particular, $M$ puede calcular el modelo de $L_{\bar{\gamma}}(\bar{M})$ y calcular el $x$. Llegamos a la conclusión de que $x \in M$.

Comentario: Sin la inaccesibilidad de la asunción, se puede obtener un modelo de $M$ de ZFC tal que $L(M) \cap V_{\omega + 1} \neq M \cap V_{\omega + 1}$.

Vamos a empezar con $V = L$ y deje $\kappa$ ser mundano cardenal de contables cofinality. Deje $\langle \alpha_n \mid n < \omega\rangle$ ser la primera cofinal secuencia de singular cardenales con límite de $\kappa$, en la canónica bien el fin de $L$. Consideremos la siguiente clase forzado en $L_\kappa$: por cada singular cardenal $\mu\in L_{\kappa}$, vamos a $\lambda = \mu^{++}$, y la fuerza con la lotería suma de $Add(\lambda, \lambda^{++})$ y el trivial forzar. Tomar la $<\kappa$ producto de apoyo de los obligando a las nociones. Esta obligando a no contraer cardenales. Deje $c$ ser una Cohen real. Deje $G$ ser $L_\kappa$-filtro genérico tal que $L_\kappa[G] \models 2^{\alpha_n^{++}} = \alpha_n^{+4}$ fib $c(n) = 1$. Esto es posible mediante la división de la obligando a la clase obligando a que sólo se decide por la que el cardenal $\lambda$ nos de la fuerza de $2^\lambda = \lambda^{++}$ (esta clase obligando a no añadir conjuntos) y el segundo paso en el cual cambiamos el valor de la correspondiente $2^\lambda$-s. En $L[c]$ uno puede encontrar un genérico para el primer paso que los códigos de $c$ anterior.

Vamos $M = L_\kappa[G]$. $c \notin M$ (como $M$ e $L$ comparten la misma reales), mientras que $c \in L(M)$.