La trivialidad de la interacción QFT

Question

En este artículo de la Wikipedia no son interesantes declaraciones:

Una teoría cuántica de campos que se dice ser trivial cuando el normaliza acoplamiento, se calcula a través de su función beta, va a cero cuando los rayos ultravioletas de la corte se retira. En consecuencia, el predicador se convierte en la de una partícula libre y el campo ya no es más la interacción.

Para un $φ^4$ interacción, Michael Aizenman demostrado que la teoría es, de hecho trivial, por el espacio-tiempo de la dimensión $D ≥ 5$.

Para $D = 4$, de la trivialidad aún no ha sido probada rigurosamente, pero celosía cálculos han proporcionado una fuerte evidencia de esto. Este hecho es importante, ya que cuántica, la trivialidad puede ser utilizado para limitar o incluso predecir parámetros tales como el bosón de Higgs masa. Esto también puede conducir a un predecible masa del Higgs en asintótica escenarios de seguridad.

Estas declaraciones son totalmente ilógico y extraño para mí.

Podría alguien explicar cómo la teoría con la inicial trivial 4-interacción de partículas se convierte en trivial?

Tal vez hay algunos juguete ejemplos de tales fenómenos?

Answer 1

Uno puede conseguir una sensación física de la teoría podría ser trivial en más de cuatro dimensiones por el pensamiento de las trayectorias de las $\phi$-campo de las partículas. En $d$ dos dimensiones geométricas de los objetos de la misma dimensión $k$ normalmente se cruzan en conjuntos de dimensión $2k-d$ ejemplos de dos curvas ina avión normalmente se cruzan en $2-2=0$ dimensiones pbejcts -- i.e punto. Dos $k=2$ superficies en $3$ dimensiones normalmente se cruzan en $4-3=1$ dimensiones de las curvas. Ahora un $\lambda \phi^4$ interacción significa que las partículas sólo interactuar, si su espacio-tiempo trayectorias toque. Las trayectorias de las partículas en un camino integral son caminos aleatorios que han Hausdorf dimensión $2$, por lo que una caminata aleatoria en tres dimensiones típicamente auto se cruzan en un conjunto de dimensión $1$ - un montón de interacciones por lo tanto. En cuatro dimensiones de las partículas sólo se cruzan en puntos aislados, no tanto de las interacciones por lo tanto. En más de cuatro dimensiones de las trayectorias de forma aleatoria caminar partículas normalmente no se auto se cruzan, así que, no importa cuán fuerte es el de las interacciones, no pasa nada -- la teoría es libre.

Este razonamiento puede sonar simplista, pero la verdadera, la trivialidad de la prueba es una versión de este, solo con las definiciones rigurosas y estimaciones. Creo que la idea original es debido a Giorgio Parisi: Ver G Parisi "Hausdorff dimensiones y calibre de las teorías" Physics Letters B 81 (1979) 357-360.

Answer 2

Supongamos que demostrar, no perturbativa, que el $\beta$ función estancias de más de una constante positiva. Esto implica que el acoplamiento crece. Usted puede hacer física renormalization en el que se define el acoplamiento, como $$ \lambda(\mu) \equiv \Gamma_{p_1p_2p_3p_4}\big|_{|\mathbf{p}_i|^2 = \mu^2}\,,\etiqueta{1}\label{rc} $$ donde $\Gamma$ es la cuatro-punto de amplitud. Vamos a definir una referencia IR escala de $\mu_0$ y los asociados de acoplamiento $\lambda_{\mathrm{IR}}$ como $\lambda(\mu_0)$. Como consecuencia de ello, puesto que la derivada de enganche es estrictamente positiva, usted tiene $$ \lambda_{\mathrm{UV}} \equiv \lim_{\mu\to\infty}\lambda(\mu) = \begin{cases} \infty&\lambda_{\mathrm{IR}} \neq0\,,\\ 0 &\lambda_{\mathrm{IR}} =0\,. \end{casos} $$ Observe que aquí no hay problemas de corte. Podemos, por ejemplo, renormalize mediante el uso de dim-reg, imponer la renormalization estado \eqref{rc} y, a continuación, enviar a $\varepsilon\to0$.

Así que si nos quitan el corte y obtuvo un no trivial de la teoría de todo el camino a la UV, lo que en la tierra está pasando? El problema es que la teoría que hemos obtenido es basura. Si tratamos de calcular la S-matrix para $\phi+\phi \to \phi+\phi$ obtenemos un divergentes respuesta $$ T_{12\to34} \sim \Gamma_{p_1p_2p_3p_4} \underset{\mu\to\infty}{\longrightarrow} \infty\,. $$ Pero $|T_{12\to34}|^2$ es una probabilidad, tiene que ser menos de $1$. Así que el único valor constante para el acoplamiento es $\lambda_{\mathrm{UV}} = \lambda_{\mathrm{IR}} = 0$. Si en lugar de introducir un límite, la UV acoplamiento es el valor en el punto de corte $$ \lambda_{\mathrm{UV}} \equiv \lambda(\Lambda)\,. $$ Esto puede ser enorme, con respecto a $\lambda_{\mathrm{IR}}$ pero no necesariamente infinito. Por lo que sólo puede sintonizar $\lambda_{\mathrm{IR}}$ ser lo suficientemente pequeño como para respetar unitarity a alta energía.

En conclusión

Si quieres demostrar cuántica, la trivialidad usted tiene que demostrar que el $\beta$ función es, finalmente, más grande que una constante positiva (de modo que el acoplamiento crece hasta el infinito, de cualquier condición inicial).

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Algunos comentarios:

La fuente de (al menos a mi) la confusión fue la siguiente: la afirmación de que "cuando la corte se retira, la teoría se convierte en algo trivial" puede ser mal entendido como el hecho de que el acoplamiento va a cero en la UV. La situación es precisamente la contraria, la de acoplamiento crece! (Libertad asintótica es cuando el acoplamiento va a cero, y que requiere de la $\beta$ función a ser negativo en su lugar.)

Aquí no es el RG de flujo que establece su acoplamiento a cero en la UV. Usted decide a poner a cero, debido a que es la única opción que se tiene para preservar la S-matrix unitarity.

Answer 3

He tomado y ligeramente reformulado este de Srednicki del QFT libro.

Considerar la renormalization grupo de ecuación

\begin{equation} \frac{d\lambda}{d \ln \Lambda} = \beta(\lambda), \tag{1} \end{equation}

para $\phi^4$ teoría, donde $\lambda$ es el cuarto grado de acoplamiento, y $\Lambda$ es una escala de la energía. Ahora integramos entre la física de la escala de $\Lambda = m_{\text{phys}}$ hasta el límite de la escala de $\Lambda = \Lambda_0$ hemos \begin{equation} \int_{\lambda(m_{\text{phys}})}^{\lambda(\Lambda_0)} \frac{d \lambda} {\beta(\lambda)}= \ln \frac{\Lambda_0}{m_{\text{phys}}}. \tag{2} \end{equation}

Ahora bien, si hemos aproximado de la función beta por su líder el fin de plazo $\beta(\lambda)= \frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ y tratamos de tomar el límite de la línea de corte hasta el infinito $\Lambda_0 \rightarrow \infty$, ya que a nosotros nos gustaría tener una teoría que es consistente en todas las escalas de energía. Si asumimos que la beta de la función es monótona, obtenemos que el acoplamiento debe crecer con energía y, por tanto, $\lambda(\Lambda_0) \rightarrow \infty$. Pero si ese es el caso, el lado izquierdo de (2) se convierte en \begin{equation} \lim_{\lim \Lambda_0 \rightarrow \infty}\int_{\lambda(m_{\text{phys}})}^{\lambda(\Lambda_0)} \frac{d \lambda} {\beta(\lambda)}=\int_{\lambda(m_{\text{phys}})}^{\infty} \frac{d \lambda} {\beta(\lambda)} =\frac{16 \pi^2}{3\ \lambda(m_{\text{phys}})}. \end{equation}

Claramente, este no es infinte si $\lambda(m_{\text{phys}}) \neq 0$, por lo que el lado derecho de la ecuación (2) no puede ser infinita, lo que significa que $\Lambda_0$ no puede ser llevado a infinito. Esto nos dice que hay un valor máximo de la frecuencia de corte $\Lambda_0$ que podemos tomar. Es decir, \begin{equation} \Lambda_{\text{max}} = m_{\text{phys}} e^{\frac{16 \pi^2}{3 \lambda(m_{\text{phys}})}}. \end{equation} Si queremos realmente tomar el cortado hasta el infinito, necesitamos $\lambda(m_{\text{phys}})=0$. Pero eso es sólo un no-interacción de la teoría, que es trivial.

De tal manera, en QFT, "trivial" significa que no puede tomar un UV límite y tiene esta teoría interactuar.

Answer 4

La 1d Modelo de Ising es un buen juguete ejemplo de este fenómeno.
$$ H = K_a \sum_{i\in a\mathbb{N}} \sigma_i\sigma_{i+1} $$ Para este modelo, usted puede escribir el bloque de spin renormalization transformaciones exactamente, la integración de la variables impares sitios, por lo que pasa de la celosía $a \mathbb{N}$ a $2 a \mathbb{N}$.

Bonito notas sobre esto aquí.

Lo que encontramos es que la renormalization flujo reduce el acoplamiento como el caudal de salida a largas distancias, a través de $$ K_{2a} = \frac{1}{2} \ln(\frac{e^{2K_a} + e^{-2K_a}}{2}). $$ Esto siempre se encoge $K$. (Prueba: Voltear el signo en el segundo exponente. $K_{2a} < \frac{1}{2} \ln(\frac{e^{2K_a} + e^{+2K_a}}{2}) = K_a$.)

Una vez que es lo suficientemente pequeño, esta se convierte en $$ K_{2a} \simeq \frac{1}{2} \ln(1 + K_a^2) \simeq \frac{1}{2} K_a^2 $$ Así que el renormalization flujo rápido de las escalas de la interacción a cero. Por lo tanto, el de larga distancia comportamiento de 1d Ising es trivial.