Explicación intuitiva y posiblemente gráfica de por qué los racionales tienen medida de Lebesgue nula

Question

Sé que los racionales, al ser un conjunto contable, tienen medida de Lebesgue nula. Creo que una forma de demostrarlo es encontrar un conjunto abierto que contenga racionales y que tenga una medida menor que $\epsilon$ por cada $\epsilon >0$ arreglado. Se puede hacer tomando los puntos racionales en secuencia y tomando intervalos de longitud $\epsilon/2^n$ . Entonces la unión de estos intervalos tiene medida menor o igual que $\epsilon$ .

Sin embargo, me preguntaba: ¿cómo se puede explicar esto de forma intuitiva? Si uno piensa en un subconjunto denso, como $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ , se piensa en algo que está "tan cerca" del conjunto original que es indistinguible, en cierto modo. Creo que la explicación más intuitiva sería que cuando se toman esos intervalos, se está "reduciendo" su longitud más rápidamente que cómo se acerca una determinada secuencia de puntos racionales a una no racional.

Pero esto puede sonar un poco confuso, tramposo, así que me preguntaba: ¿hay una forma sencilla, intuitiva, posiblemente gráfica, de explicar a alguien con muy poca formación en matemáticas por qué los racionales tienen medida cero?

Answer 1

Se puede utilizar una de las formas conocidas de contar los números racionales, es decir, considerar la red de enteros $\mathbb Z^2$ y el subconjunto $\{(a,b)\mid a\geq 1\ \wedge\ b\geq 0\}$ como se ilustra aquí:

Esto corresponde a los racionales positivos, es decir $(a,b)\mapsto\frac ba$ . Se trata de un recubrimiento sobreyectivo y ahora es sencillo ver cómo podríamos cubrir todos esos puntos utilizando círculos de área total finita $\varepsilon$ para cualquier $\varepsilon >0$ . En la imagen de arriba, lo he hecho utilizando círculos de tamaños exponencialmente decrecientes, lo que corresponde a utilizar la conocida suma $$ 2=\sum \frac n{2^n} $$ como un límite finito que puede reducirse hasta el infinito.

Así, podemos proyectar esta representación sobre $\mathbb R$ y hacer allí una cobertura igualmente eficaz.

---

BTW una forma de proyectar esto en la recta numérica $\mathbb R^+$ sería dibujar una línea vertical en $x=1$ . Entonces, dado cualquier número racional $q$ se podría trazar la línea desde el origen $(0,0)$ a través de $(1,q)$ y proyectar el círculo del primer punto de la red por el que pasa esta línea sobre la línea vertical $x=1$ . Este círculo proyectado alrededor de $(1,q)$ se traduciría efectivamente en un intervalo alrededor de $q$ en lo positivo $y$ -(correspondiente a $\mathbb R^+$ ).

Answer 2

Esta es una pregunta realmente difícil; creo que en general la intuición para este tipo de cosas tiende a venir con la experiencia, a medida que te acostumbras a los conceptos. Dicho esto, trataré de articular la forma en que yo pienso al respecto.

Supongo que la forma de ver $\mathbb{Q}$ como un subconjunto de $\mathbb{R}$ es una carga de puntos en una línea continua. Obviamente, estos puntos están muy juntos (de hecho, todo el asunto no tiene sentido porque son densos en $\mathbb{R}$ ), pero intuitivamente la imagen mental ayuda a captar algunas de las propiedades relevantes, sobre todo teniendo en cuenta la medida de Lebesgue.

Yo sugeriría construir este conjunto por etapas, según el denominador creciente. Empezar con $\mathbb{Z}$ . Me parece bastante claro que esto debería tener medida cero, ya que los puntos están espaciados, y por lo tanto ocupan una proporción "infinitamente pequeña" de $\mathbb{R}$ . De forma rigurosa, podemos demostrar que $\mathbb{Z}$ tiene medida cero poniendo un intervalo de anchura $\epsilon 2^{-\lvert n \rvert}$ alrededor de cada $n$ .

Para cada $n\geq 1$ , defina $S_n = \{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z}, b \leq n\}$ para ser el conjunto de números racionales con denominador a lo sumo $n$ . Así, $\mathbb{Z} = S_1$ . Para cada $n$ los elementos de $S_n$ tienen alguna diferencia mínima entre ellos (el mínimo común múltiplo de los denominadores menor o igual a $n$ ), por lo que el mismo argumento que utilizamos para $\mathbb{Z}$ muestra que $S_n$ tiene medida cero para cada $n$ .

En cada paso, tenemos un conjunto de medida cero. Si continuamos este proceso infinitamente, acabaremos alcanzando todos los números racionales (es decir, para cada número racional $x$ hay un número finito de $n$ con $x \in S_n$ ), por lo que en cierto sentido $\mathbb{Q}$ es el "límite" de estos conjuntos nulos, y por lo tanto es a su vez nulo. Ciertamente, podemos hacer que este "cierto sentido" sea riguroso, ya que $\mathbb{Q}$ es la unión contable de los $S_n$ pero no estoy seguro de que eso sea útil para la intuición.

Obviamente lo que he hecho aquí no es muy sofisticado, pero creo que es un poco más fácil de visualizar que simplemente invocar la contabilidad de $\mathbb{Q}$ ya que en realidad estamos "acercando" a $\mathbb{Q}$ de forma explícita.

Answer 3

Esta no es una respuesta geométrica, pero se puede obtener mucha intuición sobre la medida de Lebesgue pensando en ella de forma probabilística. Específicamente:

La medida de un subconjunto $S\subseteq [0,1)$ es la misma que la probabilidad de que un punto elegido al azar en $[0,1)$ será un elemento de $S$ .

Por ejemplo, el conjunto $S = [0,1/4] \cup [5/8,3/4]$ tiene medida $3/8$ porque hay un $3/8$ probabilidad de que un número elegido al azar entre $0$ y $1$ se encuentra en $S$ . Así se puede entender por qué el conjunto $\mathbb{Q}\cap [0,1)$ tiene medida cero pensando en por qué un número real elegido al azar entre $0$ y $1$ tiene cero probabilidades de ser racional.

Para entender esto último, observe que un método para producir un número real aleatorio entre 0 y 1 es lanzar repetidamente un dado de 10 caras (con las caras marcadas del 0 al 9) para decidir los dígitos decimales del número. Por ejemplo, si se tira la secuencia $$ 3,\quad 1,\quad 4,\quad 1,\quad 5,\quad 9,\quad 2,\quad 6,\quad\ldots $$ entonces ha seleccionado al azar el número $0.31415926\ldots$ o $\pi/10$ . Como un número real tiene una secuencia infinita de dígitos decimales, hay que tirar el dado un número infinito de veces, pero al final se ha producido un número real al azar.

Dicho número producido al azar es racional si y sólo si la secuencia de dígitos que tira se repite eventualmente, y si lo piensas es extremadamente improbable. Por ejemplo, es básicamente imposible (probabilidad cero) que eventualmente empiece a rodar el mismo dígito para siempre. Es igual de improbable que empieces a sacar el mismo par de dígitos una y otra vez, o la misma secuencia de tres dígitos una y otra vez, y así sucesivamente. Para mí, este es un argumento muy intuitivo que $\mathbb{Q}\cap[0,1)$ tiene medida cero.

Conjuntos abiertos que contienen $\mathbb{Q}\cap(0,1)$

No me resisto a mencionar que se puede utilizar este mismo punto de vista para entender por qué hay conjuntos abiertos de pequeña medida en $(0,1)$ que contienen $\mathbb{Q}\cap (0,1)$ . Dado un $n\geq 2$ decimos que un número real $x\in(0,1)$ con dígitos decimales $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es $\boldsymbol{n}$ -repetitivo si existe un $k\in\mathbb{N}$ para que $$ (d_{k+1},d_{k+2},\ldots,d_{2k}) = (d_{2k+1},d_{2k+2},\ldots,d_{3k}) = \cdots = (d_{nk+1},d_{nk+2},\ldots,d_{nk+k}) $$ Eso es, $x$ es $n$ -repetitivo si en cualquier punto de la expansión decimal los dígitos hasta ahora consisten en un bloque de dígitos de cierta longitud $k$ seguido de $n$ bloques idénticos de dígitos de longitud $k$ . Por ejemplo, el número $$ 0.157\,432\,432\,432\,432\,761\,398\,\ldots $$ es $4$ -repetitivo debido a la $157$ seguido de cuatro repeticiones de $432$ . (Nótese que este concepto está bien definido aunque algunos números como $1/2=0.4999\ldots=0.5000\ldots$ tienen más de una expansión decimal, ya que en este caso ambas expansiones son siempre $n$ -repetitivo). Yo lo reclamo:

(1) Todo número racional en $(0,1)$ es $n$ -repetitivo para cada $n\in\mathbb{N}$ .

(2) Para cada $n\in\mathbb{N}$ el conjunto de $n$ -números repetitivos en $(0,1)$ es un conjunto abierto.

(3) La probabilidad de que un número en $(0,1)$ es $n$ -repetitivo va a $0$ como $n\to\infty$ .

Para (1), si $x$ es racional, entonces sus dígitos deben consistir en un bloque inicial de longitud $i$ seguido de un bloque repetido de longitud $j$ y se deduce que $x$ satisface el $n$ -condición de repetición en su primera $k+nk$ dígitos para cualquier $k\geq i$ que es un múltiplo de $j$ .

Para (2), observe que cada $n$ -repetitivo está contenido en un intervalo abierto de $n$ -números repetitivos. En particular, si $x$ satisface el $n$ -condición repetitiva utilizando su primer $k+nk$ dígitos, entonces también lo hace cualquier otro número con el mismo primer $k+nk$ dígitos, y esto determina un intervalo abierto alrededor de $x$ de $n$ -números repetitivos. (Si $x$ tiene dos expansiones decimales diferentes, entonces se requiere un argumento ligeramente diferente).

Para (3), observe que la probabilidad de que un número $x\in(0,1)$ es $n$ -repetitivo utilizando su primera $k+nk$ dígitos es exactamente $10^{-k(n-1)}$ . De ello se desprende que $$ P(x\text{ is }n\text{-repetitive}) \leq \sum_{k=1}^\infty 10^{-k(n-1)} = \frac{1}{10^{n-1}-1}. $$ Por ejemplo, la probabilidad de que un número sea 2-repetitivo es menor que $1/9$ y la probabilidad de que un número se repita 3 veces es menor que $1/99$ .

Por supuesto, esta construcción de barrios abiertos de $\mathbb{Q}\cap (0,1)$ con medida pequeña es mucho más complicada que la habitual, pero siempre me parece de alguna manera más concreta, en el sentido de que hemos descrito muy explícitamente qué números están en el conjunto utilizando los dígitos de la expansión decimal, y de alguna manera es mucho más obvio que este conjunto ocupa sólo una pequeña porción del intervalo unitario.

Answer 4

Sabes que los racionales son un conjunto contable. Así que elige un épsilon. Dispón un intervalo de anchura 1/2 épsilon alrededor de la primera ración. Un intervalo de 1/4 de épsilon alrededor del segundo. Un intervalo de 1/8 épsilon alrededor del tercer racional. Cada racional recibe un intervalo que es la mitad del tamaño del anterior. Para obtener un límite superior para la medida de los racionales, suma todos esos intervalos. La suma es.... epsilon, no importa lo pequeño que lo hayas elegido originalmente. En otras palabras, cualquier número positivo, por pequeño que sea, es un límite superior para la medida de los racionales. Así que la medida no puede ser un número positivo. Debe ser cero o negativo. No he visto muchos conjuntos con medida negativa, así que debe ser cero.