Ejemplos de simple, pero altamente intuitivo resultados?

Question

PREGUNTA: ¿cuáles son algunos problemas sencillos de matemáticas, cuyas respuestas son muy poco intuitivo, y lo hace así?

Hay un montón de poco intuitivo y francamente desconcertantes resultados en matemáticas, como la de Banach-Tarski paradoja y esta loca MSE pregunta que usa el axioma de elección para predecir los números reales. Sin embargo, estos son bastante esotérico, y un laico puede tener problemas en la comprensión de qué es exactamente la pregunta está pidiendo. Estoy más interesado en ejemplos como el de la Patata paradoja:

Fred trae a casa a $100$ kg de patatas, que (siendo puramente matemático patatas) consisten $99\%$ de agua. Entonces él les deja fuera toda la noche para que consisten $98\%$ de agua. ¿Cuál es su peso? La sorprendente respuesta es $50$ kg.

Creo que puedo explicar por qué esta respuesta parece poco intuitivo. Nuestra intuición nos dice que un pequeño cambio en el porcentaje de agua debe producir un pequeño cambio en la masa de las patatas. Sin embargo, esta heurística es engañoso en este caso, en parte debido al hecho de que $1/x\to \infty$ como $x\to 0$ e $1/x$ hace grandes "saltos" en el valor de $x$ cerca de $0$.

¿Cuáles son algunos otros ejemplos de problemas sencillos con poco intuitivo respuestas? (Me imagino que hay un montón de ejemplos que tienen que ver con la probabilidad, ya que los seres humanos han terrible probabilística de la intuición, y un montón de ejemplos que involucran el infinito, ya que las personas tienen un tiempo difícil conceptualizar el infinito.)

También, por favor, intenta articular exactamente por qué usted piensa que su problema tiene un intuitivo respuesta, como he intentado hacer por el Papa paradoja.

Answer 1

He aquí otro problema acerca de los imprevisibles efectos de $\frac1x$.

Desea la unidad de un punto a a Un punto B y regresar a una velocidad media de 60 km / h. Sin embargo, en el camino de a a B, no había tráfico, que se desaceleró hasta 30 mph. ¿Con qué rapidez tiene a la unidad de B a a, de modo que su velocidad media es de 60 mph (sobre todo el ida y vuelta)?

Una primera conjetura razonable es de 90 kilómetros por hora, y, a continuación, usted podría preguntarse si la verdadera respuesta es un poco diferente, pero en realidad la respuesta es mucho diferente:

Es imposible! Si a y B son $\ell$ millas de distancia, luego de un promedio de velocidad de 60 mph significa ir la $2\ell$ km de la a a la B y de nuevo sólo en $\frac{2\ell}{60} = \frac{\ell}{30}$ horas. Sin embargo, al ir de a a B a 30 millas por hora ya se llevó a $\frac{\ell}{30}$ horas, por lo que el viaje de regreso que habría que hacer en el tiempo cero.

Funciones exponenciales tienen incluso más intuitivo efecto (aunque actualmente estamos recibiendo un curso intensivo de esos), y ahí está el problema tradicional:

Una población de algas es introducido en un lago en el día 1. Las algas crecen muy rápidamente, duplicando su población (y en el área cubierta) cada día. En el día 30, la mitad de el lago está cubierto. A este ritmo, cuando se las algas que cubren la totalidad del lago?

Tal vez nuestra primera conjetura (porque esperamos que todas las funciones lineal) es el día de los 60 o 59 o algo, pero en realidad

La respuesta es día 31; la duplicación de "la mitad del lago" sólo una vez que nos da toda la zona del lago.

Es tradicional para dar tres ejemplos, así que aquí está la paradoja de cumpleaños. La matemática es un poco más elegante (aunque me voy a dar la versión que requiere menos de cálculo), pero la instrucción es fácil de entender para cualquier persona:

Un profesor enseña una clase magistral de aproximadamente el mismo tamaño cada año. La lista enumera el cumpleaños de todos. El profesor se percata de que, en promedio, hay un par de alumnos por año con el mismo cumpleaños. Acerca de cómo de grandes son los del profesor conferencias?

Hay $365$ días en la mayoría de los años, por lo que se podría esperar que una fracción considerable del año debe ser cubierto. Sin embargo, la respuesta es única:

Acerca de $27$ o $28$ alumnos por clase. Con $27$ a los estudiantes, hay $\binom{27}{2} = 351$ parejas de estudiantes; con $28$ a los estudiantes, hay $\binom{28}{2} = 378$. Para obtener el promedio de número de pares que comparten un cumpleaños, dividir por $365$ (bajo el supuesto de que los cumpleaños son uniformes y 29 de febrero no existe, que no está lejos de la verdad).

Esta paradoja se hace más sorprendente si se sustituye la "cumpleaños" con algún otro dato que uniformemente repartidas en aún más los valores, pero no puedo pensar en uno que también es razonable pieza de datos para el profesor para recoger parte de los alumnos.

Answer 2

Espera que la primera entrada de tiempo de un movimiento Browniano!

Deje $B$ ser un movimiento Browniano con inicio en $0$,

$a \in \mathbb{R}_{> 0}$ e $\tau_a$ ser la primera hora de entrada de $a$, es decir,

$$ \tau_a := \inf\{t \geq 0 \mid B_t = a\}.$$

El valor de $\tau_a$ es casi seguramente finito, es decir, casi todos los caminos del movimiento Browniano hits $a$ en tiempo finito, pero el valor esperado de $\tau_a$ es infinito!

Usted puede prueba teniendo en cuenta las $\inf\{t \geq 0 \mid B_t \in \{a, -a\}\}$.

crédito de la imagen

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Answer 3

Las regiones de un círculo

Uno de mis favoritos:

Elegir n puntos alrededor de la circunferencia de un círculo, y unir cada punto a cada una de las otras con un segmento de línea. Suponiendo que no hay tres de los segmentos de línea de acuerdo, cómo muchas regiones no esta divida el círculo en?

Hay un evidente patrón, que se descompone en la $n=6$.

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Teorema de Bayes

Relacionado con el ejemplo dado en la pregunta es la siguiente:

Hay una rara enfermedad que sólo $0.1\%$ de la población. Supongamos que usted tiene una prueba que puede determinar si una persona tiene esta enfermedad rara en un $99\%$ tasa de precisión. Si usted tiene una prueba positiva para la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que usted tiene la enfermedad?

Parece bastante obvio, $99\%$ derecho?

Supongamos que hay $1,000,000$ personas en la población. $999,000$ no tienen la enfermedad, lo que significa que $9,990$ personas que falsamente positivo en la prueba. $1,000$ de personas que tienen la enfermedad, y $990$ correctamente positivo en la prueba. Por lo tanto, fuera de todas las personas que han dado positivo, $\frac{990}{990+9990} = \frac{1}{11}$ tienen realmente la enfermedad!

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La Paradoja de Simpson

Imagina que tienes dos recipientes: $A$ e $B$.

$A$ contiene $5$ bolas blancas, $6$ bolas negras

$B$ contiene $3$ bolas blancas, $4$ bolas negras

Quieres extraer una bola blanca, pero sólo se puede tirar una vez de una ubicación de su elección al azar. Que bin le tire a partir de? Claramente, $A$ le ofrece las mejores probabilidades.

Imagina que tienes dos recipientes: $C$ e $D$.

$C$ contiene $6$ bolas blancas, $3$ bolas negras

$D$ contiene $9$ bolas blancas, $5$ bolas negras

Ahora que bin elegirías? Claramente, $C$ le ofrece las mejores probabilidades.

Vamos a combinar las papeleras $A$ e $C$, y combinar los cubos $B$ e $D$. Le tire de la bandeja con $A$ e $C$, o el bin con $B$ e $D$? Viendo cómo $A$ e $C$ eran tanto mejores opciones, su combinación debe ser la correcta elección de la derecha?

$AC$ contiene $11$ bolas blancas, $9$ bolas negras

$BD$ contiene $12$ bolas blancas, $9$ bolas negras

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Gabriel Horn

Existe una forma que tiene una infinidad de superficie, pero finito de volumen. El hecho de que una forma puede incluso existen pueden ser bastante intuitivo para comenzar con.

Aún más desconcertante es la idea de que se puede pintar un infinito área de la superficie en una cantidad finita de tiempo. Simplemente llene el cuerno con una cantidad de pintura igual a su volumen (que es finito), vierta todo de la pintura, y todo el interior de la forma que ahora se ha pintado!

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Ecuaciones diferenciales parciales

"Para comer tanto como sea posible en un día, uno no debe comer como tanto como sea posible todos los días."

Suena confuso y poco intuitivo al principio, ¿verdad?

Si alguien quería maximizar su consumo de alimentos, en lugar de continuamente consumir comida todo el día, puede ser óptimo para consumir 3 comidas grandes o 5 comidas pequeñas en lugar. Esto se entiende a través de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: la velocidad de la digestión puede ser dependiente de otros factores tales como la cantidad de alimentos en el estómago o el apetito.

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Función asintótica de crecimiento

El trigo y el tablero problema es muy famoso, y es un ir-a ejemplo de los educadores utilizar para demostrar el monstruoso crecimiento inesperado de las funciones exponenciales.

Pero sin la comprensión de la tasa de crecimiento de funciones, algunos otros resultados son sorprendentes:

Hay más posibles juegos de ajedrez que átomos en el observables universo.

Hay aproximadamente $10^{80}$ átomos pero aproximadamente el $10^{120}$ posible los juegos de ajedrez.

Todos los dígitos del número de $$9^{9^{9^9}}$$ no puede ser contenida en el universo observable.

Cómo podría cuatro sencillos $9$'s de crear un número tan grande?

Un poco más esotérico serían ejemplos como el de Kruskal árbol y teorema de $TREE(3)$, o de algunas de Diophantine ecuaciones como las soluciones positivas de $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = n$.

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Infinito de los números ordinales

Goodstein secuencias, cuando se evaluó ingenuamente, parece que no sólo crecen muy rápidamente, pero siempre crecer.

Sin embargo, una comprensión muy básica de los infinitos números ordinales es suficiente para asignar directamente a la secuencia de una secuencia ordinal, haciendo que el hecho de que la secuencia de tiempo debe terminar a $0$ bastante lógico y obvio.

Alguien en los comentarios de la pregunta se menciona la hidra de juego, que puede ser entendido con la misma idea.

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Puede haber un par de buenos ejemplos de este hilo: Ejemplos de patrones que fallen

Answer 4

La paradoja de cumpleaños. La cita de la Comprensión de la Paradoja de Cumpleaños:

En una habitación de sólo 23 personas hay una 50-50 posibilidad de al menos dos la gente que tiene el mismo cumpleaños. En una habitación de 75 hay un 99.9% de probabilidad de que al menos dos personas que coinciden.

Poner la calculadora y pitchfork, no hablo de la herejía. El la paradoja de cumpleaños es extraño, ilógico, y totalmente cierto. Es sólo una "paradoja", porque nuestro cerebro no puede manejar la capitalización el poder de los exponentes. Esperamos que las probabilidades de ser lineal y sólo tener en cuenta los escenarios que estamos involucrados (tanto defectuoso supuestos, por la forma).

Answer 5

En un futuro lejano, la humanidad se ha asentado en Marte y Venus. Ahora la Tierra recibe visitas tanto de Marcianos y de los Venusianos, y algunos de ellos pasan a ser delincuentes.

En particular, de todos los crímenes que hacer por los visitantes de otros planetas, $3/4$ son realizadas por Marcianos, mientras que sólo el $1/4$ son realizadas por los Venusianos.

Por lo tanto, un Marciano visitante es tres veces más probabilidades de ser un criminal que un Venusiano penal, derecho?

Mal! Con los datos anteriores es imposible decir si Marte o de Venus visitantes son más propensos a ser criminales.

La conclusión sólo sería correcta si no pasar a ser como muchos Marciano de los visitantes como de Venus a los visitantes, y por otra parte a los Marcianos y Venusianos que hacen los criminales en promedio el mismo número de delitos en la visita.

Si no pasar a ser tres veces más Marciano de los visitantes como de Venus visitantes, ambos tienen la misma tasa de delincuencia. Si el número de Marciano visitantes a cinco veces más alto que el número de Venus visitante, los mismos números atrevería a decir que Marciano visitantes están haciendo menos delitos en promedio, que los de Venus visitantes. Por otro lado, si Venus visitantes superan en número a los Marcianos de los visitantes, lo que significa que Marciano visitantes son aún más criminal que los números sugieren.

También, si cada Marciano penal, en promedio, tiende a hacer tres veces la cantidad de delitos como un Venusiano penal, a continuación, incluso con el mismo número de visitantes que significa que la probabilidad de que un azar Marciano visitante ser un criminal es la misma que la probabilidad de que un azar de Venus visitante ser un criminal. En ese caso, el Marciano que hacen los criminales más crímenes no porque hay más de ellos, sino porque los criminales son más activos.

Este es intuitivo porque la mayoría de las personas no se dan cuenta que ellos hacen suposiciones ocultas al hacer que una conclusión errónea.