Cuando el producto es $(1+1)(1+4)…(1+n^2)$ un cuadrado perfecto?

Question

Esta es una modificación de un sin respuesta el problema de las matemáticas StackExchange.

Cuando el producto es $(1+1)(1+4)…(1+n^2)$ un cuadrado perfecto?

Si $(1+1)(1+4)…(1+n^2)=k^2$, entonces una posibilidad es $n=3$, $k=10$. Podría haber otros enteros soluciones para $(n,k)$?

Seguramente, la respuesta es NO, pero soy incapaz de demostrar que $n=3$, $k=10$ es la única posibilidad.

Answer 1

Javier Cilleruelo ha demostrado que $n=3$ es la única solución: ver http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Papers/squares-sinlogo.pdf .

Un par de comentarios: al parecer Chebyshev ya mostró que el mayor factor principal de $\prod_{j=1}^{n} (1+j^2)$ es mayor que $Cn$ para cualquier constante $C$ siempre que $n$ es grande. Esto resolvería el problema para todos los gran $n$ (tomando $C=2$ en Chebyshev del trabajo). El problema de encontrar el mayor factor principal de $\prod_{j=1}^{n} f(j)$ para un polinomio $f$ ha sido estudiada por muchos autores (Erdos, Hooley, Heath-Marrón ...); para una primera mejora de Chebyshev de trabajo de ver Erdos del papel http://www.renyi.hu/~p_erdos/1952-07.pdf .