Pruebas complejas y elementales en teoría de números

Question

El teorema de los números primos se demostró originalmente utilizando métodos del análisis complejo. Erdos y Selberg dieron una prueba elemental del Teorema de los Números Primos. Aquí, "elemental" significa que no se utiliza la teoría de funciones complejas.

¿Es posible demostrar algún teorema de la teoría de números sin utilizar los números complejos?

Por un lado, parece que muchos de los teoremas que se utilizan en la teoría analítica de números tratan sobre las distribuciones de los números primos. Dado que el Teorema de los Números Primos tiene una demostración elemental, esto podría sugerir que existen demostraciones elementales en otros casos.

Por otra parte, la distribución de los primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función Zeta de Riemann. Quizá las pruebas de otras afirmaciones de la teoría analítica de números requieran referencias más directas a la función Zeta de Riemann.

Este tema me fascina más, ya que no soy un teórico de los números. Me interesaría saber si hay otros ejemplos de demostraciones elementales de teoremas demostrados originalmente con métodos analíticos complejos.

Answer 1

Sí, existe un teorema de Takeuti en este sentido en su libro "Dos aplicaciones de la lógica a las matemáticas". Muestra a grandes rasgos que el análisis complejo puede desarrollarse en una extensión conservadora de la aritmética de Peano.

Answer 2

Acabo de enterarme de un nuevo enfoque de la teoría analítica de números que suena muy interesante, obra de A. Granville y K. Soundararajan, que parece encajar con tu pregunta: "Desde 1859 la única aproximación coherente a estos problemas se ha basado en la idea de Riemann que conecta la distribución de los números primos con los ceros de la función zeta de Riemann -- que son los ceros de una continuación analítica. Algunos podrían argumentar que esto es "antinatural" y pedir un enfoque menos alejado de los problemas originales. Recientemente Soundararajan y yo hemos propuesto un enfoque diferente para todo el tema de la teoría analítica de números, basado en nuestro concepto de pretensión -- recientemente hemos realizado nuestro sueño de poder desarrollar todo el tema de forma coherente, sin utilizar los ceros de la función zeta de Riemann."( enlace al sitio web del curso , notas del curso ) ¿Quizás alguien nos cuente más al respecto?

Answer 3

Aquí es un trabajo reciente de Dimitris Koukoulopoulos, que obtiene la forma más sólida conocida del Teorema de los Números Primos sin recurrir en exceso al análisis complejo. Se puede encontrar el símbolo $i$ en el documento, pero no se basa en la continuación analítica de la función zeta.

Se trata de una extensión directa de los métodos "pretenciosos" de Granville y Soundararajan, mencionados en una respuesta de Thomas Riepe.

Answer 4

Depende de lo que se considere "teoría de números". Incluso si a uno le interesan "sólo" los subcampos numéricos algebraicos de los reales, se podría argumentar que hay objetos ligados a estas estructuras (por ejemplo, las funciones L y Zeta) que son teóricos y tienen interés por sí mismos, es decir, que son algo más que una forma de demostrar otras cosas. Creo que un buen ejemplo es la conjetura de Artin sobre la holomorfía de la función L de Artin -> http://en.wikipedia.org/wiki/Artin_L-function . Para elaborar un poco sobre esto, no hay absolutamente ninguna razón por la que una serie Dirichlet ordinaria arbitraria deba admitir continuación meromorfa, y mucho menos ser entera.

Suponiendo que el enfoque puramente algebraico y analítico real resulte suficiente para casi todos los propósitos numérico-teóricos, objetos como las funciones L de valor complejo pueden, en efecto, no contribuir mucho más a nuestra comprensión matemática, pero sin duda lo hacen a nuestra comprensión "filosófica" (o si se quiere "metamatemática").

Además, al final una de las cosas que importan son las interconexiones entre diversos campos de las matemáticas. En ese caso uno a priori tiene que tratar con estructuras incluso "superiores" a los números complejos, por ejemplo, las formas automórficas -> http://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program .

Answer 5

Aunque se cree que cosas como el teorema de los números primos o el teorema de Dirichlet sobre los primos en progresión aritmética forman parte integrante de la teoría analítica de números, tengo algo que decir, que quizá le interese. Hay una forma muy intuitiva de adivinar la expresión asintótica x/logx para pie(x). Hace unos días estuve repasando el libro "Qué son las matemáticas" de Courant, Robbins y Stewart, de donde saqué esta idea. Se trata de expresar log n! de dos maneras, una mediante su expresión asintótica nlogn y la otra mediante el teorema de De-Polygnac sobre la mayor potencia de un primo que divide a n!.Luego se comparan las dos expresiones. El siguiente paso consiste en dividir el intervalo [2,x] en un gran número de subintervalos en los que #primos se aproxima mediante P(x)dx. En realidad, se supone que esta P(x) es una función de densidad de primos suave cuya integral definida da el valor de pie(x). La comparación da una expresión asintótica para P(x), a saber
(x-1)/(xlogx) cuya integral es aproximadamente x/logx para x grande. Sin embargo, como se mencionó allí, la dificultad principal detrás de la prueba es realmente la existencia de tal función de densidad suave P(x). Este argumento puede parecer de naturaleza más estadística. Puede consultar el trabajo de Hardy sobre los ceros de la función Zeta de Riemann. Otro hecho que también puede interesarte, un teorema que afirma que para cualquier k, hay k puntos colineales en la gráfica de los números primos. Puedes consultar la demostración en el artículo de Carl Pomerance, que utiliza el concepto de casco convexo.