Local Inversa Galois Problema

Question

Es un hecho básico de que un finita de Galois de la extensión de $L/K$ de un local nonarchimedian campo $K$ tiene solución (de hecho supersolvable) grupo de Galois $G$. Uno ve esto mediante la ramificación de filtración $G_i=\{g\in G: g\beta\equiv \beta \pmod {\varpi_K^i}\}$.

Más trivial, locales campo de la clase de teoría nos dice que si $L/K$ es abelian, a continuación, $G$ debe ser un cociente de $K^\times$, cuya estructura como un grupo abelian se conoce de forma explícita.

En cualquier caso, esto significa que la inversa de Galois problema por $K$ es bastante limitada. Así se sabe con precisión qué grupos finitos son Galois grupos de más de $K$?

Answer 1

La respuesta corta es (según tengo entendido) no, pero no es mucho lo que se sabe. Jannsen y Wingberg han dado una presentación explícita de $Gal(\overline{K}/K)$ en el caso de que el residuo no es una característica $2$ (publicada en Inventiones de Matemáticas en 1982/1983), y Volker (1984, Crelle) maneja el caso al $K$ ha residuo característico $2$ e $\sqrt{-1} \in K$. Esto no significa, sin embargo, que es trivial para determinar qué grupos finitos son los cocientes de $Gal(\overline{K}/K)$. Más información puede ser obtenida a partir de la Sección VII.5 de "Cohomology de los Campos de Número de" por Neukirch, Schmidt y Wingberg. He aquí una paráfrasis.

Si $K$ es un local nonarchimedean campo con residuo de campo de carácter $p$ (y el fin de $q$), vamos a $G = Gal(\overline{K}/K)$, $T$ ser la inercia del grupo, y $V$ ser la ramificación del grupo. Entonces $G/T \cong \hat{\mathbb{Z}}$, $T/V \cong \prod_{\ell \ne p} \mathbb{Z}_{\ell}$, y $V$ es un servicio gratuito de pro-$p$ grupo de countably infinito rango. Iwasawa mostró que $G/V$ es un profinite grupo con dos generadores $\sigma$ e $\tau$, de modo que $\sigma \tau \sigma^{-1} = \tau^{q}$. También, la máxima pro-$\ell$ cociente de $G$ es conocido por todos los $\ell$. Por ejemplo, si $\mu_{\ell} \not\subseteq K$ e $\ell \ne p$, la máxima pro-$\ell$ cociente es $\mathbb{Z}_{\ell}$ (es decir, para cada entero positivo $k$, no hay una única extensión de Galois $L/K$ grado $\ell^{k}$, es decir, la unramified uno).

Answer 2

Tres comentarios (que no tengo suficiente reputación para añadir comentarios):

• El paréntesis se dice en el comunicado de la pregunta es falso: los grupos de Galois de los campos locales no necesitan ser supersolvable. Por ejemplo, $A_4$ no es supersolvable pero es el grupo de Galois http://www.lmfdb.org/LocalNumberField/2.4.6.7. Otro ejemplo es $\mathrm{GL}_2(3)$, que es el grupo de Galois http://www.lmfdb.org/LocalNumberField/2.8.10.2.
• Incluso si nos restringimos a las extensiones de $\mathbb{Q}_p$, dando una respuesta precisa a esta pregunta es probable que sea difícil. Por ejemplo, $C_2^4$ no es el grupo de Galois de cualquier extensión de $\mathbb{Q}_p$ (tiene demasiadas índice-2 subgrupos), ni es $\mathrm{SL}_2(3)$ (como lo demuestran Weil en su "Diádica Ejercicios de papel"), aunque $\mathrm{GL}_2(3)$ es.
• En general se sabe que $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ debe tener una cíclico de la serie de la forma $$W\unlhd I\unlhd G$$ en que $W$ es $p$-grupo que también es normal en $G$ e $I$ tiene orden de primer a $p$ (se puede añadir más restricciones impuestas por la filtración de $W$ y la acción de Frobenius). Pero como en los ejemplos anteriores muestran, estas condiciones necesarias, no son suficientes.

Answer 3

Una restricción es, por ejemplo, que los grupos que ocurren como una extensión de Galois de $K/\mathbf{Q}_p$ tienen que ser generados por $\leq n(K)$ elementos para algunos $n(K) \in \mathbf{N}$ dependiendo $K$. Más precisamente, uno ha $n(K) \leq N + 3$ con $N = [K:\mathbf{Q}_p]$ por [Neukirch-Schmidt-Wingberg], Teorema (7.5.14) (en $p > 2$).

Answer 4

Con respecto a la incrustación de problemas: he encontrado http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10958-009-9588-7 ("La incrustación problema con los no-Abelian kernel para los campos de la región", Revista de Ciencias Matemáticas, de septiembre de 2009, Tomo 161, número 4, pp 553-557; Zentralblatt Math: https://zbmath.org/?q=an:05660150), que lamentablemente no tienen acceso.