¿Por qué el CM cierre de $\mathbb{Q}$ "ultimate" coeficiente de campo para motivos?

Question

En un camino áspero, una categoría de motivos sobre un campo $k$ con coeficientes en un campo de $K$ da un universal cohomology teoría con coeficientes en $K$ para variedades algebraicas definidas sobre $k$. Tuve la impresión de que la elección de los coeficientes de $K=\mathbb{Q}$ fue el más estándar y, al menos, el más natural($\mathbb{Q}$ es el más pequeño campo de característica cero).

Pero en este video de la conferencia:

https://www.youtube.com/watch?v=0M-jXPi_t1I

alrededor de la hora 8.00, Kontsevich dice que la "máxima coeficiente de campo, que se puede utilizar en cualquier situación" es $\mathbb{Q}^{CM}$, la unión de CM campos, es decir, de los imaginarios cuadrática extensiones de totalmente real número de campos.

No entiendo por qué es cierto, entonces, mi pregunta es:

¿Por qué es $\mathbb{Q}^{CM}$ "ultimate" coeficientes de campos de motivos?

Más precisamente:

1)puedo entender que un mayor coeficiente de campo de $\mathbb{Q}$ puede ser útil, pero me gustaría conocer ejemplos concretos de que.

2)no sé por qué, $\mathbb{Q}^{CM}$ debe ser suficiente para cubrir las eventuales respuestas a 1). Sé que el aspecto habitual de CM campos de la teoría de los complejos de la multiplicación de abelian variedades, pero no veo una relación directa con la pregunta.

Comentario: soy deliberadamente unprecise en lo que yo considero como "motivos". Si la respuesta depende de los "detalles" de la noción (puro, mixto, de equivalencia de la relación en los ciclos...), me gustaría saber que para las diferentes versiones.

Answer 1

Hace poco me enteré de un hecho que parece responder a una parte de mi pregunta: el $CM$ extensión $\mathbb{Q}^{CM}$ de % de $\mathbb{Q}$ es exactamente la extensión de $\mathbb{Q}$ generado por el Weil números (véase, por ejemplo, el Apéndice D de este documento por Drinfeld: http://arxiv.org/abs/1007.4004 ).

Recordemos que $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$ es un Weil número si es un $q$-Weil número para algunos $q$ de la potencia de un primo, lo que significa que $|\alpha^{\sigma}|^2 =\alpha^{\sigma} \overline{\alpha^{\sigma}}=q$ por cada conjugado $\alpha^{\sigma}$ de % de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$.

El hecho de que el campo generado por una Weil número $\alpha$ es $CM$ es elemental: $\beta = \alpha + \overline{\alpha}$ es totalmente real y $\alpha$ es una raíz de $T^2 - \beta T +q$, de discriminante $\beta^2-4t=(\alpha\overline{\alpha})^2 \leq 0$.

Si $X$ es un buen proyectiva variedad, más de un campo finito $\mathbb{F}_q$, entonces los valores propios de la Frobenius actuando en el $l$-ádico cohomology de $X$ ($l$ el primer diferente de la característica $p$ de % de$\mathbb{F}_q$) son Weil números independiente de $l$ (Deligne) y es igual a los valores propios de la Frobenius que actúa sobre el cristalino cohomology (Katz-Messing). A partir de la Tate conjetura, todos los motivic información acerca de $X$ debe estar contenida en estos autovalores. Esto hace claro que $\mathbb{Q}^{CM}$ es un buen coeficiente de motivos sobre campos finitos. El mismo será cierto para los motivos más global campos como tal motivo debe ser determinada por sus reducciones a los diferentes finito de lugares.