Esta es otra forma de obtención de los símbolos de Christoffel con el symetry impuestas por la condición libre de torsión
$$ \Gamma^i_{k\ell}=\Gamma^i_{\ell k}. $$
Esto se remonta a Riemann, Habillitation.
Supongamos que $(M,g)$ es una de Riemann colector de dimensión $N$, $p\in M$. Mediante la fijación de un ortonormales marco de $T_pM$ podemos encontrar las coordenadas locales $(x^1,\dotsc, x^N)$ cerca de $p$ de manera tal que, $\newcommand{\pa}{\partial} $
$$ x^i(p)=0, \;\; g=\sum_{i,j} g_{ij}(x) dx^i dx^j, $$
$$g_{ij}(x)= \delta_{ij} +\sum_{i,j}\left(\sum_k\pa_{x^k}g_{ij}(0) x^k\right) dx^i dx^j + O(|x|^2). $$
En otras palabras, en estas coordenadas,
$$ g_{ij}(x)=\delta_{ij} +O(|x|). $$
Riemann fue a preguntar si uno puede encontrar nuevas coordenadas cerca de $p$ de manera tal que en estas coordenadas la métrica $g$ satisface $g_{ij}=\delta_{ij}$.
Como primer paso, tenemos que preguntarnos si podemos encontrar un nuevo sistema de coordenadas tal que, en estas coordenadas la métrica $g$ es descrito por
$$ g=\sum_{ij}\hat{g}_{ij} dy^idy^j, $$
donde
$$\hat{g}(y)=\delta_{ij}+ O(|y|^2). \tag{1} $$
Las nuevas coordenadas $(y^j)$ se describen en términos de las coordenadas antiguas $(x^i)$ por una familia de Taylor aproximaciones
$$y^j= x^j + \frac{1}{2}\sum_{ij}\gamma^j_{\ell k} x^\ell x^k + O(|x|^3),\;\; \gamma^j_{\ell k}=\gamma^j_{k\ell}. $$
La restricción (1) implica
$$ \gamma^j_{\ell k}=\frac{1}{2}\left(\pa_{x^\ell}g_{jk}+\pa_{x^\ell}g_{jk}-\pa_{x^j}g_{\ell k}\right)_{x=0}. $$
Vemos que, en el $x$ coordenadas
$$ \Gamma^i_{k\ell}(p)=\gamma^i_{k\ell}, $$
debido a $g^{ij}(p)=\delta^{ij}$.
Se llevó a la gente varias décadas después de Riemann de trabajo para darse cuenta de que los coeficientes de $\Gamma^i_{k\ell}$ están relacionados con el transporte paralelo, y en última instancia, a un concepto de conexión.
En definitiva, en mi opinión, la mejor explicación de la torsiones requisito viene de Cartan del bastidor móvil técnica. La cubierta es la técnica siguiente hecho: dada una conexión de $\nabla$ a $TM$ y un $1$forma $\alpha\in \Omega^1(M)$, entonces para cualquier vector campos de $X,Y$ a $M$ hemos
$$d\alpha(X,Y)= X\alpha(Y)-Y\alpha(X)-\alpha([X,Y]) $$
$$= (\nabla_X\alpha)(Y)-(\nabla_Y\alpha)(X)+\alpha(\nabla_XY-\nabla_YX)-\alpha([X,Y]) $$
$$= (\nabla_X\alpha)(Y)-(\nabla_Y\alpha)(X)+\alpha\bigl(\;T_\nabla(X,Y)\;\bigr). $$
Si la torsión es cero, por encima de la igualdad pierde un término, y se obtiene más fácilmente Cartan de ecuaciones estructurales de un colector de Riemann.
