En lugar de intentar medir la corriente del motor mientras está en el circuito, yo mediría el motor por sí mismo. Eso es más fácil de hacer y te permite averiguar cuáles son los límites, no sólo lo que el circuito pasa a conducir en.
Desconecta el motor y hazlo funcionar con una fuente de alimentación de 4,5V, que es más o menos lo que se puede esperar de tres pilas AA frescas en serie. Si tienes una fuente de alimentación que puede mostrar la corriente, entonces eso será suficiente. Espero que la corriente sea al menos de unos 100 mA, que la mayoría de las fuentes de alimentación mostrarán con una resolución razonable. Si no, pon tu amperímetro en serie con el motor para medir la corriente. Empieza con la escala de 1A.
Hay dos mediciones que deberías hacer para tener una idea del motor. La primera es con el motor funcionando sin carga. Deja que las ruedas giren libremente. El motor consumirá el mínimo de corriente de esta manera. A continuación, inténtalo durante un corto periodo de tiempo con las ruedas sujetas para que no gire nada. El motor consumirá la máxima corriente de esta manera. Esto también se conoce como "corriente de bloqueo", que verás en su hoja de datos si la tienes. Deja que las ruedas giren un poco para obtener la corriente de bloqueo en diferentes posiciones del motor. Los motores de corriente continua con escobillas pueden tener un consumo de corriente un poco diferente a lo largo de una revolución, dependiendo de la combinación de bobinas que estén siendo activadas por las escobillas.
Una vez que tengas la corriente mínima y máxima, puedes diseñar tu circuito de accionamiento en torno a ella. Como probablemente quieres un accionamiento variable y bidireccional, querrás accionar el motor con un puente H controlado por PWM desde el micro. No sé qué capacidades tiene el arduino, pero hay micros reales por ahí con el hardware PWM específicamente destinado a conducir tales puentes H. Estos hacen que el cambio de dirección sea fácil, manejan la rotura antes de hacerla, etc.