Hay un teorema de análisis Real similar a la del teorema de Cauchy en el análisis Complejo?

Question

Hay un teorema de Análisis Real similar a la del Teorema de Cauchy/Cauchy de la Integral de la Fórmula de Análisis Complejo?

Si no, entonces, ¿por qué? ¿Qué hay en el espacio complejo que hace de Cauchy Teorema de verdad?

Answer 1

En realidad creo que la verdadera manera de pensar acerca de esto es que de Cauchy de la Integral fórmula es una extraña forma compleja de la Media del Valor de la Propiedad para armónica de funciones.

Armónica de funciones se caracterizan por el Valor medio de la Propiedad, es decir, si $U\subseteq \mathbb{R}^n$ está abierto, $x\in U$ e $f$ es armónica en $U$, entonces para todos los $r>0$ tal que $B(x,r)\subseteq U,$ hemos

$$ f(x)=\frac{1}{dS(\partial B(x,r))}\int_{\parcial B(x,r)} f(y) \, \textrm{d}S(y), $$ donde $dS$ denota la superficie medida en $\partial B(x,r)$. En el caso de $n=2,$ este será un regular de la curva integral. La densidad de los que aparecen en la fórmula de Cauchy tiene que tomar en cuenta el hecho de que usted está tratando de calcular un complejo curva integral frente a una real.

Tenga en cuenta que holomorphic funciones, en particular, armónica, por lo que la fórmula anterior es válida para ellas como una indicación real de la curva de las integrales.

Answer 2

Existe, pero es aburrido. Suponiendo $f$ es integrable en $[a,b]$,

$$ \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x + \int_b^a f(x) \,\mathrm{d}x = 0 \text{.} $$ En $\mathbb{C}$ es posible en un camino cerrado alrededor de un punto para que no pase a través del punto. En $\mathbb{R}$, la única manera de cerrar un camino es volver sobre sus pasos.

Usted podría tratar el integrando $\frac{f(x)}{x-c}$ para $c \in (a,b)$, pero a menos $f$ pasa a tener un cero a cancelar la pole en $c$, el resultado de la integral es impropia en $c$ y el par de las integrales sobre cada lado de la $c$ no necesita cancelar (debido a que sus extremos se aproxima $c$ enfoque de forma independiente). Si lo hacen, de recuperar el anterior.

Una pequeña variante de la fórmula de Cauchy para repetir la integración. \begin{align*} f^{(-n)}(x) &= \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_n) \,\mathrm{d}\sigma_n \cdots \,\mathrm{d}\sigma_2 \,\mathrm{d}\sigma_1 \\ &= \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x (x-t)^{n-1}f(t) \,\mathrm{d}t \text{,} \end{align*} que tiene algunas similitudes con la de Cauchy diferenciación de la fórmula, $$ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}} \oint \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}z \text{.} $$ La comprensión de estos son menos diferentes de lo que parecen es más fácil en el contexto de la de Riemann-Liouville differintegral.

Answer 3

La diferencia esencial entre lo real y complejo análisis en este nivel es una función compleja que la diferenciable es analítico, es el límite de su serie de Taylor en un disco. Hay no constante infinitamente diferenciable funciones reales de una variable real cuya derivados en un punto se $0$, por lo tanto no es una potencia de la serie en cualquier disco.

Ver La distinción entre infinitamente derivable la función real y analítica de la función

Answer 4

Los (posibles) razones son:

(1) Si $f$ es analítica(diferenciable) en $\Bbb C$ lo es su derivado $f^{'}$ lo cual no es cierto en $\Bbb R$ , ejemplo, considere la función $f(x)=x^2\sin (\frac{1}{x})$. (2) en el Caso de integrar una analítica de la función de más de un dominio cerrado en $\Bbb C$ (del Teorema de Cauchy), entonces su integral es $0$ lo cual no es cierto en $\Bbb R$ , ejemplo considere la posibilidad de $x^2 $ sobre $[-1,1]$

NOTA: Para el punto (2) usted puede utilizar el hecho de que cada analítica de la función sobre una simplemente conectado dominio tiene una antiderivada lo cual no es cierto en $\Bbb R$

Answer 5

Aquí es otro punto de vista:

Deje $U\subset \mathbb{C}$ ser un abrir y delimitada con seccionalmente suave límite de $\Gamma$ e $f\in C^1(\bar U,\mathbb{C})$, es decir, $f$ es un complejo de valores de la función real diferenciable en un barrio de $\bar U$. Vamos a ver que tan lejos podemos llegar demostrando la integral de Cauchy fórmula para esta función.

Deje $z_0\in U$ e $\epsilon>0$ tan pequeña que el balón $B(z_0,\epsilon)\subset U$. Luego de Stokes teorema implica (para más detalles, ver final del post) $$ \frac{1}{2 \pi i}\int_\Gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\ d z = \frac{1}{\pi}\int_{U\barra invertida B(z_0,\epsilon)} \frac{1}{z-z_0}\frac{\partial}{\partial \barra z}f(z) d \lambda(z) + \frac{1}{2\pi \epsilon}\int_{\parcial B(z_0,\epsilon)} f(z) d \sigma(z) \etiqueta{$\star$}. $$ Aquí $\lambda$ es el $2$-dimensional de la medida de Lebesgue, $\sigma$ es el de la medida de superficie en $\partial B$ e $\frac{\partial}{\partial \bar z}$ es el Wirtinger derivados, que codifica la de Cauchy-Riemann ecuaciones. Desde $f$ es continua, la media en el RHS converge a $f(z_0)$ como $\epsilon\rightarrow 0$, por lo tanto $$ \frac{1}{2 \pi i}\int_\Gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\ d z = E(f,z_0) + f(z_0) \etiqueta{$\star\star$}, $$ donde $E(f,z_0):=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\pi}\int_{U\backslash B(z_0,\epsilon)} \frac{1}{z-z_0}\frac{\partial}{\partial \bar z}f(z) d \lambda(z)$.

Tenga en cuenta que $f$ es holomorphic si y sólo si $\frac{\partial}{\partial \bar z} f =0$. En este caso, $E(f,z_0)=0$ e $(\star\star)$ se convierte en la costumbre de Cauchy teorema de la integral.

Desde esta perspectiva es claro donde el razonamiento se rompe hacia abajo en la ausencia de holomorphicity. La obstrucción de la integral de Cauchy teorema es exactamente $E(f,z_0)$, un término de error que tipo de medidas el fracaso de $f$ a satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones.

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Aquí es una prueba de $(\star)$ el uso de Stokes teorema de complejas formas diferenciales (esto es solo para la integridad - mi argumento debe ser clara, sin la comprensión de los siguientes cálculos): Vamos a $\Omega = U \backslash \bar B(z_0,\epsilon)$ e $\omega = \frac{f d z}{z-z_0}$. A continuación, $d \omega = \frac{1}{z-z_0}\frac{\partial}{\partial \bar z}fd \bar z \wedge d z$ y Stokes de la fórmula se obtiene:

$$ \int_\Omega \frac{1}{z-z_0}\frac{\partial}{\partial \barra z}fd \barra z \wedge d z = \int_\Omega d \omega = \int_{\partial \Omega} \omega = \int_\Gamma \frac{f d z}{z-z_0} - \int_{\parcial B(z_0,\epsilon)} \frac{f d z}{z-z_0}. $$ Estándar cálculos muestran que $2 i d \lambda = d \bar z \wedge d z$ y que $\epsilon d z/(z-z_0)$ tira de nuevo a $d \sigma$ a $\partial B(z_0,\epsilon)$, por lo tanto $(\star)$ sigue.

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Edit: 1) En una versión anterior me dijo que no estaba claro si el límite de $\epsilon\rightarrow 0$ existe y se necesita algo así como una diferenciación de Lebesgue teorema. Esto es basura, como el correspondiente resultado es trivial para funciones continuas (como suponemos $f$ a ser). La virtud de la diferenciación de Lebesgue teorema radica en su validez para $L^1_{\mathrm{loc}}-$funciones.

2) Como se ha argumentado anteriormente es obvio que $E(f,z_0)=0$ si $f$ es holomorphic. Por otro lado, cualquier función que satisface la integral de Cauchy teorema, es decir, para que $E(f,z_0)=0$ para todos los $z_0\in U$ es holomorphic.