Puede un Lagrangiano submanifold de ${\mathbb R}^{2n}$ ser denso ($n>1$)?

Question

Estoy segura de que sí, seguro!", pero no lo veo. Podría por favor alguien que me señale hacia, o construir para mí, una de Lagrange submanifold inmerso en estándar simpléctica ${\mathbb R}^{2n}$ para $n > 1$, cuyo cierre es de todos los de ${\mathbb R}^{2n}$?

(Para una $n =1$ ejemplo, uno puede usar las hojas derivadas de esta modificación por Panov de irracional de flujo en los dos toro.)

La fuerte preferencia que se da a la analítica de inmersiones de la ${\mathbb R}^n$.

Holomorphically inmerso líneas complejas que son densos en el complejo 2-espacio, es decir, densa ${\mathbb C}$'s ${\mathbb C}^2$ -- son bien conocidos. Ilyashenko en 1968 demostró que la solución típica de la típica polinomio de educación a distancia (en el complejo de tiempo) los rendimientos de dicha curva. Siguiendo su línea de de pensamiento, podría ser más fácil para construir un todo singular de Lagrange foliación de ${\mathbb R}^{2n}$ cuya típico de la hoja es densa, en lugar de la submanifold.

Motivación: tengo una cierta inestable colector relacionado con un Hamiltoniano del sistema. Es de Lagrange. Me gustaría ser `tan densa como puede ser", así que me gustaría saber cómo denso que puede ser.

Answer 1

Tu pregunta ya tiene la respuesta en ella para $n=2$. Tomar un conectada curva compleja $L\subset\mathbb{C}^2$ que es denso en $\mathbb{C}^2$. A continuación, $L$ es de Lagrange para la parte real de la holomorphic $2$forma $\Upsilon = dz^1\wedge dz^2$. Esta parte real de la $\Upsilon$ es equivalente a la norma simpléctica estructura en $\mathbb{R}^4$ por un cambio lineal de variables.

Añade comentario acerca de inyectividad: Nota, por cierto, que fácilmente se puede organizar de tal $L$ a ser un submanifold, no sólo la imagen de una inmersión (es decir, la inmersión es inyectiva). Una simple forma explícita de hacerlo es seleccionar las constantes de $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ tal de que el subgrupo en $\mathbb{C}^\times$ generado por los números de $\mathrm{e}^{2\pi i\lambda_1},\ldots,\mathrm{e}^{2\pi i\lambda_k}$ es denso en $\mathbb{C}^\times$ y considere la ecuación diferencial lineal $$ \frac{dy}{dx} = \left(\frac{\lambda_1}{x-x_1}+\cdots + \frac{\lambda_k}{x-x_k}\right)\ y $$ donde $x_1,\ldots,x_k\in \mathbb{C}$ son distintos. La gráfica de cualquier valor distinto de cero multi-valor de la solución de $y(x)$ sobre $\mathbb{C}\setminus\{x_1,\ldots,x_k\}$ entonces se denso en $\mathbb{C}^2$. (Considere el holonomy alrededor de las perforaciones $x_j$.) Por supuesto, estas gráficas son las superficies de Riemann asociada a la multivalor funciones $$ y = y_0 (x{-}x_1)^{\lambda_1}\cdots(x{-}x_k)^{\lambda_k} $$ (al $y_0\not=0$). Estos son, obviamente, curvas integrales (hojas) del polinomio $1$-forma $$ \omega = (x{-}x_1)\cdots(x{-}x_k)\ dy - q(x) y\ dx $$ para algunos polinomio $q$ de grado en la mayoría de las $k{-}1$ en $x$. Aparte de las obvias cerrado hojas de $x-x_j=0$ e $y=0$, el resto de las hojas son densos submanifolds. (Esto sólo le da un simple, ejemplo claro de la general, el teorema de que Richard citado.)

Denso analíticas de las curvas de $\mathbb{R}^2$: no es difícil construir densa, conectado analíticas de las curvas de $\mathbb{R}^2$: existen analítica de los parámetros de la $2$-esfera que tiene geodesics que vagan densamente sobre la superficie. Ahora tomar una geodésica y quitar un punto de $S^2$ a través de la cual la geodésica no pasa. Lo que queda es un denso analítica de la curva en $\mathbb{R}^2$. Si usted está dispuesto a utilizar Finsler métricas, incluso se puede hacer esto con una rotación invariable real de la analítica de Finsler métrica en la $2$-esfera (por ejemplo. Katok de ejemplos), así que usted puede escribir la densa analítica de la curva de manera muy explícita.

Voy a pensar en el caso de $n>2$. Yo no lo veo todavía, pero tal vez no es demasiado duro.

Answer 2

Esto es más una observación que una respuesta.

La solución típica de la típica polinomio de la educación a distancia es uniformized por el disco de Poincaré no por la línea del complejo.

De hecho, después de que el trabajo de McQuillan, es conocido que la existencia de un no-algebraico hoja de uniformized por $\mathbb C$ impone fuertes restricciones en el polinomio de campo vectorial. Resulta que no sale de una superficie proyectiva birational a $\mathbb C^2$ cuando la la foliación definida por el vector de campo tiene al peor de los canónica singularidades y su cotangente gavilla ha de Kodaira dimensión cero o uno.