Recurrencias simples que convergen a $\log 2, \pi, e, \sqrt{2}$ y así sucesivamente

Question

Vea mi pregunta al final de este post. La recurrencia $P(n) x_{n+2} = Q(n)x_{n+1} - R(n)x_n$ , donde $P(n), Q(n), R(n)$ son polinomios de grado $1$ A veces se obtienen resultados interesantes. Probablemente los casos más básicos son:

Para $\log\alpha$ :

$$P(n) = \alpha (n+2), Q(n) = (2\alpha-1)(n+1)+\alpha, R(n)=(\alpha-1)(n+1)$$ $$\mbox{with } x_1=\frac{\alpha-1}{\alpha}, x_2 = \frac{(\alpha-1) (3\alpha-1)}{2\alpha^2}$$

Tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \log\alpha$ . La convergencia es más rápida cuando $\alpha$ está cerca de $1$ . La recurrencia relacionada $$P(n) = 1, Q(n) = (2\alpha-1)(n+1)+\alpha, R(n)=(\alpha-1)\alpha(n+1)^2$$ $$\mbox{with } x_1=\alpha-1, x_2=(\alpha-1)(3\alpha-1)$$ rinde $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x_n}{\alpha^n n!} = \log\alpha$$ y además $x_n$ es un número entero si $\alpha>0$ es un número entero.

Para $\exp \alpha$ :

$$P(n) = n+2, Q(n) = n+2+\alpha, R(n)=\alpha$$ $$\mbox{with } x_0=1, x_1 = 1+\alpha$$

Tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \exp\alpha$ . La recurrencia relacionada $$P(n) = 1, Q(n) = n+2+\alpha, R(n)=\alpha(n+1)$$ $$\mbox{with } x_0=1, x_1=1+\alpha$$ rinde $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x_n}{n!} = \exp\alpha$$ y además $x_n$ es un número entero si $\alpha$ es un número entero.

Para $\sqrt{2}$ :

$$P(n) = 4(n+2), Q(n) = 6n+11, R(n)=2n+3$$ $$\mbox{with } x_0=1, x_1 = \frac{5}{4}$$

Tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \sqrt{2}$ . La recurrencia relacionada $$P(n) = n+2, Q(n) = 2(6n+11), R(n)=16(2n+3)$$ $$\mbox{with } x_0=1, x_1=10$$ rinde $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x_n}{8^n} = \sqrt{2}$$ y además $x_n$ es un número entero.

Comentario

Estas fórmulas (y toneladas de otras fórmulas similares) son fáciles de obtener, pero no he podido encontrar ninguna referencia en la literatura. Sería interesante ver si hay alguna disponible para $\gamma$ (la constante de Euler Mascheroni), pero no lo creo. Además, ¿qué pasa cuando cambias las condiciones iniciales? ¿Qué pasa si sustituyes la recurrencia por su ecuación diferencial equivalente, por ejemplo $$(x+2) f(x) - (x+2+\alpha) f'(x) + \alpha f''(x) =0$$ correspondiente al caso $\exp\alpha$ ?

Generalización a valores iniciales arbitrarios

A modo de ejemplo, esto es lo que ocurre con la primera fórmula (la $\log \alpha$ caso), si cambiamos las condiciones iniciales $x_1=\frac{\alpha-1}{\alpha}, x_2 = \frac{(\alpha-1) (3\alpha-1)}{2\alpha^2}$ a valores arbitrarios $x_1 = A, x_2=B$ asumiendo aquí que $\alpha=2$ :

$$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = (5-8\log \alpha)\cdot A + (8\log \alpha -4) \cdot B.$$

Puedes intentar probar esta fórmula. Fue obtenida empíricamente, no la he probado. Y sólo funciona si $\alpha = 2$ .

Para $\alpha \neq 2$ y también para el caso $\sqrt{2}$ una fórmula general es $$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = c_1 A + c_2 B$$

donde $c_1, c_2$ son constantes que no dependen de las condiciones iniciales. Esto podría ser una propiedad general de estas recurrencias lineales convergentes (al menos las que implican polinomios de grado uno). Otra propiedad, compartida por los sistemas convergentes aquí descritos, es la siguiente: $$A = B \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} x_n = A.$$

Esto implica que $c_1+c_2 = 1$ .

¿Cómo se obtienen estas recurrencias?

El caso $\sqrt{2}$ puede derivarse de esta otra pregunta . Para mí, es el caso más interesante ya que permite estudiar los dígitos de $\sqrt{2}$ en base 2. Algunas de estas recursiones pueden ser calculadas con WolframAlpha, ver aquí para el caso exponencial, y aquí para $\sqrt{2}$ . Otras numerosas recurrencias, con una convergencia mucho más rápida, pueden derivarse de las sumas combinatorias que aparecen en este artículo de WA .

Mi pregunta

Estoy buscando algo de literatura sobre estas recurrencias lineales no homogéneas de segundo orden que involucran polinomios de grado $1$ . Además, aceptaré cualquier respuesta para una recurrencia que produzca $\pi$ . Debería ser fácil, utilizando las fórmulas (37) o (38) en este artículo como punto de partida.

Si te parece que mi pregunta es demasiado fácil, aquí tienes una que podría ser mucho menos fácil: cambia las condiciones iniciales por $x_0=A, x_1=B$ en cualquiera de estas fórmulas, y ver si se consigue la convergencia a una constante matemática conocida.

Answer 1

El teorema del binomio generalizado lleva a las potencias racionales de los racionales.

$$(1+x)^p=1+px+\frac{p(p-1)x^2}{2}+\frac{p(p-1)(p-2)x^3}{3!}+\cdots$$

La relación de recurrencia entre los términos es evidente.

Ahora, con $p=-1$ , se obtiene $\log(1+x)$ por integración de términos, por lo tanto los logaritmos de los racionales. Y sustituyendo $x^2$ para $x$ e integrando, se obtiene $\arctan(x)$ y $\pi$ .

Finalmente, $e$ se puede dibujar expandiendo

$$\left(1+\frac1n\right)^n=1+\frac nn+\frac{n(n-1)}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3}+\cdots$$ y dejar que $n$ ir al infinito. También en este caso, la recurrencia es fácil.

Estas series también pueden verse como expansiones de Taylor de algunas funciones, y las relaciones de recurrencia son las que unen las derivadas evaluadas en $0$ . Por lo tanto, se puede aplicar este truco a las funciones definidas por una ecuación diferencial.

Por ejemplo, que $y''=-y$ con $y(0)=1$ y $y'(0)=0$ .

Por inducción, las derivadas pares son $\pm1$ alternas y las de impar son $0$ . Los términos de la expansión de Taylor son

$$(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},$$ que son tales que $$t_{n+1}=-\frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} t_n$$ y con $x=1$ , se obtiene $\cos(1)$ .

Answer 2

Aquí intento resolver (determinar el límite) de estas recurrencias, de forma general. Nótese que estas recurrencias se pueden escribir como $$(a_1 n+b_1) x_{n+2} = (a_2 n +b_2) x_{n+1} - (a_3 n + b_3) x_n.$$ Con los valores iniciales $A, B$ concluimos que estos sistemas se rigen por $8$ parámetros. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a_1=1$ reduciendo el número de parámetros a $7$ (aquí nos interesa el caso en que $a_1 a_2 a_3 \neq 0$ ). Para que $x_n$ para converger a un valor $\beta$ diferente de $0$ como $n\rightarrow\infty$ Debemos tener $a_2-a_3 = a_1$ y $b_2 - b_3 = b_1$ . Por lo tanto, tenemos $P(n) = Q(n) - R(n)$ . Esto reduce el número de parámetros libres a $5$ .

Si $x_0=1, x_1=0$ Denotemos el límite de $x_n$ como $c_1$ . Asimismo, si $x_0=0, x_1=1$ denotamos el límite como $c_2$ y utilicemos la notación $y_n$ en lugar de $x_n$ para esa recurrencia, para diferenciarla de $x_n$ . Ahora dejemos que $z_n = Ax_n + By_n$ . Esta recurrencia sigue la misma fórmula, pero esta vez con $z_0=A$ y $z_1=B$ . Su límite es $c_1A+c_2B$ . Así, demostramos lo siguiente:

El límite de cualquiera de estas recurrencias tiene la forma $c_1A+c_2B$ donde $c_1,c_2$ son constantes que no dependen de los valores iniciales, y $A, B$ son los valores iniciales .

Además, si $A=B$ entonces $x_n = A$ (independientemente de $n$ ) y el límite también es igual a $A$ . Este caso particular implica que $A$ = $c_1 A + c_2 A$ y por lo tanto $$c_1 + c_2 = 1.$$

Normalmente, algunos valores iniciales particulares y conocidos, por ejemplo $A^*,B^*$ , dan como resultado la convergencia de $x_n$ a una constante conocida, digamos $\beta^*$ (como se ve en todos los ejemplos, por ejemplo $A^*=1, B^*=5/4, \beta^* =\sqrt{2}$ en mi segundo ejemplo de la pregunta original). Así pues, tenemos lo siguiente: $$c_1 + c_2 =1 \mbox{ and } c_1 A^* + c_2 B^* = \beta^*$$ donde las únicas incógnitas son $c_1, c_2$ . Este sistema lineal de dos variables ( $c_1, c_2$ ) y se pueden resolver dos ecuaciones para calcular los valores de $c_1, c_2$ .

Ejemplo

Para el $\log\alpha$ caso, tenemos $c_1=1-c_2$ y $$c_2 = \frac{2\alpha}{\alpha-1} \cdot \Big(\frac{\alpha\log\alpha}{\alpha-1} -1\Big).$$ Cuando $\alpha=2$ Esto corresponde a la solución que se discute en mi post original, en la sección Generalización a valores iniciales arbitrarios .

Discusión

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $A=1, B=0$ : si $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \rho$ si $x_0=1, x_1=0$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = \rho(A-B) +B$ si $x_0=A, x_1=B$ . Así pues, nos quedamos con $3$ parámetros libres. Y como los cuatro casos discutidos anteriormente ( $\log\alpha,\exp\alpha,\sqrt{\alpha}, \arctan\alpha$ ) son linealmente independientes, deben (presumiblemente) cubrir una gran clase de todas las soluciones que implican convergencia, independientemente de $P(n), Q(n), R(n)$ y los valores iniciales.

Sería interesante ver dónde $x_n = \sum_{k=1}^\infty \frac{\alpha^k}{3k+1}$ encaja aquí: satisface el mismo tipo de recurrencia. Podría corresponder a una combinación lineal de estas $4$ funciones, después de una transformación lineal adecuada del parámetro $\alpha$ ?

Además, ¿qué pasa con algunos $x_n$ recogido al azar, digamos con $P(n) = 7(n+2)$ , $Q(n) = 8(n+2)+\alpha$ , $R(n) = n+2+\alpha$ ?

Cuadro resumen

Las siguientes fórmulas ofrecen un resumen útil.

1. Caso $\log\alpha$ con $\alpha \geq \frac{1}{2}$

$$(n+2)x_{n+2} =\frac{(2\alpha-1)(n+1)+\alpha}{\alpha} x_{n+1} -\frac{(\alpha-1)(n+1)}{\alpha} x_n$$ $$x_n \rightarrow x_1\cdot\Big[1-\frac{2\alpha}{\alpha-1} \cdot \Big(\frac{\alpha\log\alpha}{\alpha-1} -1\Big)\Big] + x_2\cdot\Big[\frac{2\alpha}{\alpha-1} \cdot \Big(\frac{\alpha\log\alpha}{\alpha-1} -1\Big)\Big]$$ $$\mbox{If } A = x_1 = \frac{\alpha-1}{\alpha}, B = x_2 =\frac{(\alpha-1)(3\alpha-1)}{2\alpha^2}, \mbox{ then } x_n\rightarrow\log\alpha$$

2. Caso $\exp \alpha$

$$(n+2)x_{n+2}=(n+2+\alpha) x_{n+1} - \alpha x_n $$

$$x_n \rightarrow x_0\cdot \frac{1+\alpha-\exp\alpha}{\alpha} - x_1\cdot\frac{1-\exp\alpha}{\alpha}$$

$$\mbox{If } A = x_0 = 1, B = x_1 = 1+\alpha, \mbox{ then } x_n\rightarrow\exp\alpha$$

3. Caso $\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha - 4}}$ con $\alpha > 4$

$$(n+2)x_{n+2}=\frac{(4+\alpha)n+2\alpha+6}{\alpha} x_{n+1} - \frac{2(2n+3)}{\alpha} x_n $$

$$x_n \rightarrow x_0 \cdot\Big[1-\frac{\alpha}{2}\Big( \sqrt{\frac{\alpha}{4-\alpha}}-1 \Big)\Big]+ x_1 \cdot \frac{\alpha}{2}\Big(\sqrt{\frac{\alpha}{4-\alpha}}-1 \Big) $$

$$\mbox{If } A = x_0 = 1, B = x_1 = \frac{2+\alpha}{\alpha}, \mbox{ then } x_n\rightarrow \sqrt{\frac{\alpha}{4-\alpha}}$$

4. Caso $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\arctan \sqrt{\alpha}$ con $|\alpha| \leq 1$

$$(2n+5)x_{n+2}=[2(1-\alpha)n+5-3\alpha] x_{n+1} +\alpha (2n+3) x_n $$

$$x_n \rightarrow x_0\cdot\Big[1-\frac{3}{\alpha}\Big(1-\frac{\arctan\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}\Big) \Big]+ x_1\cdot \Big[\frac{3}{\alpha}\Big(1-\frac{\arctan\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}\Big) \Big] $$

$$\mbox{If } A = x_0 = 1, B = x_1 = \frac{3-\alpha}{3}, \mbox{ then } x_n\rightarrow \frac{\arctan\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}} $$

En particular, si $\alpha=1$ entonces $\arctan \alpha = \pi/4$ . Si $\alpha=\sqrt{3}/3$ entonces $\arctan \alpha = \pi/6$ .

Fórmula exacta para $x_n$

En todos los casos aquí tratados, $x_n$ puede expresarse como una suma. Por ejemplo:

1. Caso $\log\alpha$ : $$ x_n=\sum_{k=1}^n \Big(\frac{\alpha-1}{\alpha}\Big)^k\frac{1}{k} \mbox{ if } x_1 = \frac{\alpha-1}{\alpha}, x_2 =\frac{(\alpha-1)(3\alpha-1)}{2\alpha^2}$$

2. Caso $\exp\alpha$

$$ x_n=\sum_{k=0}^n \frac{\alpha^k}{k!} \mbox{ if } x_0 = 1, x_1 = 1+ \alpha$$

3. Caso $\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha - 4}}$

$$x_n=\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\frac{1}{\alpha^k} \mbox{ if } x_0 = 1, x_1 = \frac{2+\alpha}{\alpha}$$

4. Caso $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\arctan \sqrt{\alpha}$

$$ x_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-\alpha)^{k}}{2k+1} \mbox{ if } x_0 = 1, x_1 = \frac{ 3-\alpha}{3}$$

En general, puede utilizar la siguiente metodología para identificar la suma en cuestión. Digamos que $x_n = \sum_{k=0}^n \lambda_k$ . Es fácil ver que $\lambda_{n+1}x_{n+2}-(\lambda_{n+1}+\lambda_{n+2})x_{n+1} + \lambda_{n+2}x_n=0$ . Por lo tanto, existe una función $f(n)$ tal que $P(n) = \lambda_{n+1}f(n)$ , $Q(n) = (\lambda_{n+1}+\lambda_{n+2})f(n)$ y $R(n) = \lambda_{n+2}f(n)$ . La función $f$ depende de la recurrencia específica, pero no depende de los valores iniciales.

La cuestión de cuándo $x_n$ converge se discute aquí : He añadido nuevo material el 1/3/2019, ahora es definitivo.