Abrir los subconjuntos de un espacio Euclídeo de dimensión 5 y mayor de admisión exóticas suave estructuras

Question

Hasta la dimensión 3, homeomórficos colectores son diffeomorphic (en particular, homeomórficos abrir los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ ($n\leq 3$) son diffeomorphic). Se sabe que hay una cantidad no numerable mutuamente no diffeomorphic abrir subconjuntos de $\mathbb{R}^4$ que son homeomórficos a $\mathbb{R}^4$ (Demichelis & Freedman, 1992). Para $n\neq 4$, $\mathbb{R}^n$ admite un único suave estructura (hasta diffeomorphism), con lo que el mencionado fenómeno es único dimensión 4.

Preguntas: En la dimensión $n\geq 5$,

1. es posible que un colector para ser homeomórficos a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ pero no diffeomorphic a ella?

2. es posible que dos homeomórficos abrir subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ puede ser que no diffeomorphic?

Hay ejemplos de estos conjuntos, en cada dimensión, se $n\geq 5$, habiendo una simple descripción, hasta homeomorphism?

(la suave estructura en cada subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ siendo la estándar).

Edit: Si he entendido bien, Misha Kapovich señala en su comentario más abajo que Robion Kirby le dijo que la respuesta a la pregunta (2) anterior es positiva, en cada una de las dimensiones $n\geq 5$ (y por lo tanto en cada una de las dimensiones $n\geq 4$, con la diferencia de que para $n\geq 5$ sin estos conjuntos puede ser homeomórficos a $\mathbb{R}^n$). Como (2) implica (1) resolver la pregunta.

Sería interesante saber si otros matemáticos escuchado acerca de estos ejemplos de Kirby. A partir de la topológico punto de vista (es decir, hasta homeomorphism), ¿cuáles son estos conjuntos?

Answer 1

Finalmente me habló a Rob, e hice una búsqueda de la literatura. Aquí están algunos ejemplos de subconjuntos de Euclídea espacios de los que se homeomórficos pero no diffeomorphic.

Deje $\Sigma$ ser un exótico $(n-1)$-dimensiones de la esfera que puede ser realizado como un Brieskorn variedad (ver aquí): $$ V(a):=\{z\in S_\epsilon^{2m+1} \, : \, z_0^{a_0} + \dots + z_m^{a_n} =0 \},$$ donde $2m=n$ e $S_\epsilon^{2m+1}=\{z: ||z||=\epsilon\}$ para algunos lo suficientemente pequeño $\epsilon>0$.

Por ejemplo, alguna de las 7 dimensiones exóticas esfera va a hacer el trabajo.

A continuación, si $M^{n-1}$ es $(n-1)$-dimensiones (suave) Brieskorn variedad $V(a)$, es natural que la integración en $S^{n+1}$, y la imagen ha trivial normal paquete (ya que es el nivel regular de un suave mapa a ${\mathbb C}$; este buen mapa proviene de la definición de la ecuación de $V(a)$). Por lo tanto, nuestra $\Sigma$ incrusta en $R^{n+1}$ de manera tal que el tubular vecindario $U_\Sigma$ de la imagen es diffeomorphic a $\Sigma\times R^2$. Deje $S$ estándar $n-1$-dimensiones de la esfera; también incrusta en $R^{n+1}$ con trivial normal bundle, por supuesto, y tenemos un diffeomorphism $U_S\to S\times R^2$ para el tubular vecindario $U_S$ de % de $S$ en $R^{n+1}$. Es entonces claro que $U_\Sigma$ es homeomórficos a $U_S$.

La reclamación. El abierto de subconjuntos $U_\Sigma$ e $U_S$ de % de $R^{n+1}$ no diffeomorphic; equivalentemente, los colectores $\Sigma\times R^2$ e $S\times R^2$ no diffeomorphic.

Esto es donde la historia se complica un poco. Rob dice que él sabe esto, pero no recuerda una referencia. La afirmación acerca de la inexistencia de un diffeomorphism aparece en la página 150 (Teorema 1) en

S. Kwasik, R. Schultz, Multiplicativo de estabilización y transformación de los grupos. Tendencias actuales en la transformación de los grupos, (2002) 147-165.

Pero en lugar de una prueba que proporcionan seis referencias de ninguno de los que contiene esta afirmación (al menos en una forma reconocible). No tengo ninguna razón para dudar de que la prueba puede ser extraído de la combinación de algunos de sus referencias. En lugar de eso, me miré en su otro papel:

S. Kwasik, R. Schultz, Toral y exponencial de estabilización para homotopy esférica spaceforms. De matemáticas. Proc. Cambridge Muerte. Soc. 137 (2004), no. 3, 571-593.

En ese papel que prácticamente proporcionar una prueba de esta afirmación en la sección 4. (Su argumento es utilizado por el espacio-formularios).

He aquí un bosquejo de su argumento. Supongamos que existe un diffeomorphism $$ f: \Sigma\times R^2\S\times R^2. $$ Deje $S_a^1\subset R^2, S_b^1\subset R^2$ ser círculos concéntricos de radios $a$ e $b$ donde $a$ es mucho más grande de lo $b$. A continuación, el submanifolds $S\times S^1_b$ e $f(\Sigma\times S_a^1)$ cofound un suave compacto submanifold $W\subset S\times R^2$. A continuación, se comprueba que $W$ es un h-cobordism; desde $\pi_1(S\times S^1)\cong {\mathbb Z}$, este h-cobordism es en realidad un s-cobordism y, por lo tanto, por el s-cobordism teorema, es diffeomorphic para el producto. En particular, $\Sigma\times S^1$ es diffeomorphic a $S\times S^1$. Ahora, uno puede referirse a Teorema 1.9 en

R. Schultz, Suave Estructuras en $S^p\times S^q$, Anales de las Matemáticas, la Segunda de la Serie, Vol. 90 (1969), pág. 187-198

o reciclar el argumento anterior, a la conclusión de que la $\Sigma$ es diffeomorphic a $S$. Esto demuestra la reclamación.

Answer 2

Misha la respuesta proporciona ejemplos (por cierto $n$), de los pares de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ (ambos con el estándar liso de la estructura), que son homeomórficos pero no diffeomorphic el uno al otro, dando así una respuesta parcial a la pregunta más general 2). Uno de los conjuntos es construido a partir de una exótica $(n−2)$-dimensiones de la esfera que puede ser realizado como Brieskorn variedad. Sin problemas de incrustación en $\mathbb{R}^n$, puede ser visto como un "pequeño exóticas $\mathbb{S}^{n-2}\times\mathbb{R}^2$"

Mientras tanto, recibí la siguiente respuesta parcial de un experto (comunicación privada; como en el anterior, la dimensión de $4$ está excluido). Va en el otro sentido, proporcionando ejemplos de grandes exóticas estructuras abiertas subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ (de nuevo, no para todos los $n>4$):

"Estrictamente hablando, $\mathbb{R}^n\setminus 0$ responde a su pregunta para la mayoría de los valores de $n$, desde es diffeomorphic a $\mathbb{S}^{n-1}\times\mathbb{R}$, y el primer factor que normalmente tiene exóticos estructuras que permanecen nondiffeomorphic a la original después de producto con $\mathbb{R}$. Sin embargo, el resultado exótico estructuras no incrustar en $\mathbb{R}^n$. Supongo que quieres pares de subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ que son homeomórficos uno al otro, pero no diffeomorphic. No sé si tal pares de existir. Claramente, tienen que tener trivial tangente haces, pero eso no impide exotismo: hay exóticos esferas $S$, que se une parallelizable colectores, por lo $S\times\mathbb{R}$ tiene un trivial tangente paquete y no es diffeomorphic a un estándar de la esfera de $\times\mathbb{R}$. Sin embargo, este ejemplo no se puede incrustar el objeto de abrir un subconjunto de $\mathbb{R}^n$. (De lo contrario, $S$ estaría vinculado a un balón y, por tanto, ser la norma.)"

Dos breves comentarios:

1) esta construcción proporciona ejemplos de colectores homeomórficos a simple subconjuntos de $\mathbb{R}^n$, pero que, no sin problemas incrustar en $\mathbb{R}^n$ (resumiendo, una exótica estructura en la $(n-1)$-esfera da lugar a una estructura exótica en el perforado $\mathbb{R}^n$, que es "grande" en el sentido de que no incorpora suavemente en $\mathbb{R}^n$).

2) sería también interesante saber analógica (topológicamente) ejemplos simples en cada una de las dimensiones $n>4$ para que el $(n-1)$-esfera no exhibe la estructura exótica (en el caso de $n=5$, por lo que no exóticas estructura es conocida).