analítica vs algebraica de Gauss-Manin conexión

Question

Existen los siguientes dos nociones de "Gauss-Manin conexión":

1. El complejo-analítica: deja que $f:X\to S$ ser un suave familia de complejos de colectores. A continuación, se obtiene un local de sistema de $R^nf_{\ast}\mathbb{C}$ de los complejos de los espacios vectoriales en $S$, la definición de un holomorphic vector paquete de $\mathcal{V}=R^nf_{\ast}\mathbb{C}\otimes\mathcal{O}_S$ a $S$ con un integrable conexión de $\nabla :\mathcal{V}\to\mathcal{V}\otimes\Omega_S^1$. Ahora el vector paquete de $\mathcal{V}$ puede ser identificado con la relación de Rham cohomology $\mathcal{H}_{dR}^n(X/S)$ de la familia, por lo que tenemos una conexión en el último.

2. El algebraicas: deja que $f:X\to S$ ser un suave morfismos de suave esquemas sobre un campo $k$. Ahora Katz de la Aod y en "Sobre la diferenciación de De Rham cohomology clases con respecto a los parámetros" (J. Math. Kyoto Univ. 8 (1968), pp 199-213) la construcción de un integrable conexión en $\mathcal{H}_{dR}^n(X/S)$ como algunos de mapa de límite en una cierta secuencia espectral.

Está implícito en la literatura de que estas dos construcciones son compatibles, es decir, para un movimiento suave de la familia de lisa variedades sobre los números complejos, la conexión se describe en 1. es sólo el analytification de la una en la 2. Esto suena bastante razonable. Pero pensando un poco acerca de ella, yo era incapaz de encontrar un argumento, por lo que tal vez podría alguien darme una pista de donde encontrar esta o cómo hacerlo?

Answer 1

Las dos construcciones son compatibles.

Su primera definición de Gauss-Manin conexión es $ DR^{-1} (R f_* \mathbb{C}_X ) $. Aquí $DR : D^b_{hr}(\mathcal{D}_X) \to D^b_c( \mathbb{C}_X )$ e $DR(\mathcal{M}) = \omega_X \otimes^L_{D_X} \mathcal{M}$ es la analítica complejo de de Rham. Esta es una equivalencia por la de Riemann-Hilbert correspondencia. Envía un $\mathscr{O}$-coherentes $\mathcal{D}$-módulo (es decir, un vector de un paquete con un integrable conexión) a un sistema local (es decir, un localmente constante gavilla). A la inversa functor envía un localmente constante $V$ a el vector paquete de $\mathscr O_X \otimes_{\mathbb{C}} V$ junto con la única conexión de modo que $V$ es el sistema local de las secciones horizontales en $(\mathscr O_X \otimes_{\mathbb{C}} V,\nabla)$.

La segunda definición es un caso especial de la imagen directa $\mathcal{H}^n(f_+\mathscr O_X)$ en el sentido de D-módulos para $f$ liso. El (algebraicas y analíticas) complejo de de Rham en $X$ es filtrada por $$ L^r\Omega_X^\bala = f^*\Omega_Y^r \otimes \Omega_X^{\bullet-r} $$ Esto induce a una secuencia espectral $$ R^pf_*(Gr_L^q \Omega_X^\bullet) \Rightarrow R^{p+q}f_*(\Omega_X^\bullet) $$ Pero $Gr_L^q \Omega_X^\bullet = \Omega^q_S \otimes \Omega_{X/S}^{\bullet-q}$ y el de Gauss-Manin conexión puede ser interpretado como el diferencial $$ R^nf_*\Omega_{X/S} \a \Omega^1_S \otimes R^{n}f_*\Omega_{X/S} $$ en el espectro de la secuencia. Ahora el analyfication functor es compatible con inverso y directo imágenes de $\mathcal{O}$-módulos y se envía a $\Omega^i_X$ a$\Omega^i_{X^{an}}$, por lo que envía a uno espectral de la secuencia a la otra. Esto muestra que el analíticos y algebraicos de Gauss-Manin conexiones son compatibles.

Queda por probar es que el $DR$ es compatible con imágenes directas $$ DR f_+ \mathcal{M} \desbordado{\sim}{\a} Rf_* DR \mathcal{M} $$ (para $f$ un suave morfismos de los complejos de la analítica de variedades y $\mathcal{M} =\mathscr O_X$ regular de la conexión).

Para $f:X\to S$ abierto de inmersión este es un teorema de Deligne (cf. Borel IV.6.1) y es en realidad equivalente a la regularidad (por el teorema de Mebkhout creo).

Para $f:X\to S$ correcto esto se hace en (Borel VIII.15): analyfication induce la transformación natural $DR f_+ \to Rf_* DR $ y es un isomorfismo debido a la proyección de la fórmula. En el caso de $\mathcal{M} =\mathscr O_X$ usted puede hacer esto un poco más concreta. Es suficiente para demostrar que la transformación natural es un isomorfismo en las fibras. Pero a través de la correcta cambio de base, esto significa que usted puede suponer $S$ es un punto así que esto es equivalente a $H^n_{dR}(X^{an}) \to H^{n}(X^{an};\mathbb{C})$ ser un isomorfismo, que es la de Poincaré Lema.