La cúspide de las formas y L^2

Question

Estoy confundido sobre el "panorama general" cuando uno va desde la clásica formas modulares en $SL_2(\mathbb{Z})$ y sus subgrupos para automorphic formas (posiblemente no holomorphic).

Para el clásico de las formas modulares tenemos la cúspide de las formas y de Eisenstein de la serie. No es el Peterson producto definido cuando una de las formas es la cúspide de la forma (desde la cúspide de las formas se desvanecen en las cúspides) y Eisenstein de la serie son el complemento ortogonal de la cúspide de las formas. Para cúspide formas, hay Atkin-Lehner teoría, pero no (tal y como yo lo entiendo) de Eisenstein de la serie.

Ahora, a partir de la lectura de diversas fuentes, con el fin de generalizar esto a nonholomorphic formas, lo correcto es mirar a $L^2(\Gamma\backslash SL_2(\mathbb{R}))$. He descubierto la manera de hacer de forma modular en una función en $SL_2(\mathbb{R})$, pero a menos que sea un cúspide de forma que no parezca que es en $L^2$ (el producto interior es sólo la generalización de Peterson, ¿no?)

Por otro lado hay una serie que se parecen a Eisenstein en series como $$ E_\phi(z) = \sum_{\gamma\en\Gamma_\infty\barra invertida\Gamma} \phi(\mathrm{Im}(\gamma(z))) $$ donde $\phi$ es un compacto respaldado $C^\infty$función en el positivo de reales. Obviamente, estos desaparecen en las cúspides (y están en $L^2$) pero son (aparentemente) no cúspide de las formas.

Así que mis preguntas concretas son: ¿cuál es la forma correcta de generalizar las formas modulares, de modo que holomorphic Eisenstein serie aún se mantienen en la foto? Donde estas $E_\phi$ serie a encajar? Y lo que sucede a Hecke teoría en esta configuración?

Me gustaría también para entender el papel de peso 2 "casi-holomorphic" de Eisenstein de la serie de una forma más conceptual.

(No sé mucho de análisis funcional, por lo que Gelbart del libro está resultando bastante difícil para mí. ¿Tengo que entender todo el análisis funcional para conseguir una sensación para lo que está pasando?)

Answer 1

Este es un tiempo de respuesta porque la pregunta se le pide a un buen montón de cosas. Estoy de acuerdo en que Gelbart del libro, a pesar de inspiración, es difícil para alguien sin un fuerte analítica de fondo. El Boulder y Corvallis actuaciones están llenas de artículos que vale la pena estudiar si desea obtener una comprensión de automorphic teoría. Es difícil de resumir, pero aquí es un (necesariamente simplificada) croquis de la "big picture" usted podría estar buscando.

En primer lugar, dos cosas importantes para conseguir directamente:

1) "Cuspidal" no es lo mismo como "fuga en las cúspides". Apegarse a la mitad superior-lugar por el momento, una función es cuspidal si en cada cúspide de la 0-ésimo coeficiente de Fourier se desvanece. Para un holomorphic función de los coeficientes de Fourier son constantes, por lo que cuspidal y fuga en cúspides son la misma cosa. Pero para aquellos funciones de $E_\phi$ 0-ésimo coeficiente de Fourier en $\infty$ es algo de la función $c_0(y)$ fuga en un barrio de la infinidad, pero ciertamente no-cero en general. De hecho, $f\in L^2(\Gamma\backslash\mathfrak{H})$ es cuspidal iff es ortogonal a todos los $E_\phi$ (calcular el Petersson producto para ver esto), por lo $\{E_\phi\}$ genera un complemento a la cúspide de las formas en $L^2$. Aritméticamente, aunque ellos no sean interesantes.

2) Automorphic formas y $L^2(\Gamma\backslash G)$ son animales diferentes por completo. Un automorphic forma es una función suave en $\Gamma\backslash G$ la satisfacción de diversas propiedades (crecimiento moderado, K-finito, y murieron por un ideal de finito de codimension en el centro de la envolvente universal de álgebra). No tiene que ser en $L^2$. Por ejemplo, holomorphic Eisenstein serie son automorphic formas que no están en $L^2$.

Hecke teoría: para $SL_2(\mathbb{Z})$ sólo puede imitar las definiciones clásicas en este más general, pero para otros grupos además de los $GL_2/\mathbb{Q}$ usted realmente necesita para mirar a la adelic configuración. Aquí un automorphic formulario (para una reductora grupo $G/\mathbb{Q}$) es una función suave en $G(\mathbb{Q})\backslash G(\mathbb{A})$, la satisfacción de un montón de propiedades (ver Borel y Jacquet artículo en Corvallis para una definición más precisa, de hecho, para casi todo aquí). El finito adelic grupo $G(\mathbb{A}_f)$ actúa por derecho de traducción en el espacio de automorphic formas, y este es el derecho de generalización de los operadores de Hecke. La Mentira de grupo $G(\mathbb{R})$ ¿ no actuar en el espacio de automorphic formas (K-finitud no se conserva), pero existe un adecuado álgebra de operadores diferenciales invariantes (el Hecke álgebra de $G(\mathbb{R})$) que no.

Cuspidal automorphic formas - en el adelic configuración - son los $F$ para los que la función $$ F_N(g) = \int_{N(\mathbb{Q})\barra invertida N(\mathbb{A})} F(hg)\ dh $$ se desvanece para el adecuado unipotentes subgrupos $N$. Para $GL_2$ estos son sólo los unipotentes radicales de Borel subgrupos (definido más de $\mathbb{Q}$), y dado que estos son todos los conjugado es suficiente para comprobar la fuga por la parte superior triangular unipotentes subgrupo.

Un clásico de la cúspide de la newform $f$ peso $k$, a continuación, da lugar a un cuspidal automorphic forma $F$ a $GL_2/\mathbb{Q}$. Hay dos cosas diferentes que uno puede hacer ahora con $F$:

1) La traduce de $F$ bajo $GL_2(\mathbf{A}_f)$ generar una representación irreducible $V_f$, que codifica la acción de los operadores de Hecke (y más). Los elementos de esta representación no son otras que oldforms asociados a $f$. Más precisamente, $V_f$ es un infinito producto tensor de representaciones $V_p$ de % de$GL_2(\mathbb{Q}_p)$. Si $p$ no dividen el nivel de $f$,, a continuación, $V_p$ dice que la Hecke $T_p$ e $R_p$ autovalores. En el mal de los números primos, que contiene mucho más delicado de la información que las clásicas Atkin-Lehner teoría (¿una razón para usar el adelic enfoque incluso para $GL_2$).

2) La traduce de $F$ bajo la Hecke álgebra en el infinito, por otro lado, generar una representación irreducible $V_\infty$ de un tipo particular (discrete serie con el parámetro dado por $k$), dentro de la cual se $F$ es caracterizado como el peso más bajo vector (este es el grupo de la teoría de la interpretación de la holomorphy de $f$).

El espacio de todos los traduce de $F$ (es decir, por el finito adelic grupo y el Hecke álgebra en el infinito) es $V_\infty\otimes V_f$. Es un ejemplo de un automorphic representación. (En general, un automorphic representación es cualquier irreductible subquotient de los espacios de automorphic formas bajo estas acciones).

El mapa de $F\mapsto F_N$ permite describir el cociente (automorphic formas)/(la cúspide de las formas) por la inducción de las representaciones de la parabólica subgrupos. Aunque explícito, este cociente es bastante complicado representación - en particular, está muy lejos de ser semisimple, incluso para $GL_2$.

Por lo tanto, si usted está mirando desde un número teórico de la perspectiva, ¿por qué importa $L^2$ ? La razón es la traza de la fórmula, la cual debe ser formulado en la configuración de espacios de Hilbert. No hay prácticamente ninguna diferencia entre un $L^2$-forma que se cuspidal y un automorphic la cúspide de la forma, por lo que la traza de la fórmula, debidamente ejercido, puede decir mucho acerca de la cúspide de las formas. Es una poderosa herramienta indispensable. Pero para aplicarlo se necesita también para ver al resto de la $L^2$, en la que se vive el espectro continuo, representaron por real-analítica de Eisenstein serie en $Re(s)=1/2$. Aquí hay un montón de análisis, pero generalmente, usted puede encontrar un amistoso de expertos para que te ayuden.

PS: Algunas personas, como para definir un cuspidal automorphic la representación irreducible subespacio de $L^2_{\mathrm{cusp}}$. Esto tiene algunas ventajas: a) es conciso, y (b) en el infinito que uno está trabajando con genuino (unitario) las representaciones de la verdadera Mentira de grupo, en lugar de $(\mathfrak{g},K)$-módulos (de forma equivalente, las representaciones de la real Hecke álgebra). Pero sólo da la respuesta correcta para cuspidal representaciones.