Deje $C_n$ denotar el casco convexo de todos los vectores de enteros $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ satisfactorio $x^2+y^2\leq n$. ¿Qué se puede decir sobre el número de vértices de $C_n$ y el número entero de puntos en el límite de $C_n$? Existen buenos asintótica fórmulas, posiblemente especiales para los valores de $n$?
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anjanb
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Asintótica fórmulas podría ser pedir mucho, pero hay algo de trabajo por I. Barany et al. Ver:
PUNTOS AL AZAR Y LA RED DE PUNTOS DE CUERPOS CONVEXOS IMRE BA RA NY (en BAMS 2008) y el papel que se refiere el mismo por Balog/Barany:
Balog, Antal(H-AOS); Bárány, Imre(H-AOS) En el casco convexo de la entero de puntos en un disco. Discreto y geometría computacional (New Brunswick, NJ, 1989/1990), 39-44, DIMACS Ser. La Matemática Discreta. Theoret. Comput. Sci., 6, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1991. 11H06 (11P21 52C07)
El ex habla acerca de algunos de niza probabilística de los resultados, el último muestra que no hay una estimación de la forma $c_1r^{2/3} \leq N(r) \leq c_2 r^{2/3},$ donde $N(r) = C_n,$ e $r=n$ en su notación.
EDITAR Responder a mi propia pregunta en los comentarios: es un resultado de Renyi-Sulanke, de 1963, que para $n$ aleatorias de puntos en el disco, se espera que el número de extremal puntos es $O(n^{1/3}),$ así que esta es del mismo orden como para la red de puntos. Un poco sorprendente.
Eric
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246
No es realmente una respuesta, pero quizás le sobra a alguien más como un intento de "a prueba de enciclopedia".
Recogida del teorema de los estados que $A=i+b/2-1$ donde $A$ es el área de la región, i es el número de puntos del interior, y $b$ es el número de puntos en la frontera.
A057665 da el número de enteros pares de $(x,y)$ con $x^2+y^2\leq n$.
Si mis cálculos son correctos, el número de puntos en la frontera son 4, 8, 8, 8, 12, 12, 12, 16, 8, 16, ..., que no está en la OEIS.
El área de la convex hull 2, 4, 4, 8, 14, 14, 14, 16, 24, 28, ..., que no es también en la OEIS.
