Existencia de una secuencia de funciones continuas positivas en $ \mathbb R$ que no tiene límites precisamente en $ \mathbb Q$

Question

¿Es posible encontrar una secuencia de funciones continuas positivas $g_n$ en los números reales de tal manera que $( g_n(x) )$ no tiene límites si y sólo si $x \in \mathbb {Q}$ ?

Answer 1

No, eso no es posible. Si $(g_ \alpha )_{ \alpha\in A}$ es una familia de funciones continuas de valor real definidas en $ \mathbb {R}$ Entonces $g \colon \mathbb {R} \to (- \infty ,+ \infty ]$ definido por

$$g(x) = \sup \{ g_ \alpha (x) : \alpha \in A\}$$

es una función semicontinua inferior. Por lo tanto, para todos $c \in (- \infty ,+ \infty ]$ el conjunto

$$F(c) := \{ x \in \mathbb {R} : g(x) \leqslant c\}$$

está cerrado. Si $\{ g_ \alpha (x) : \alpha \in A\}$ no tiene límites desde arriba, es decir. $g(x) = + \infty $ para todos $x \in \mathbb {Q}$ Entonces $F(c)$ tiene el interior vacío para cada $c \in \mathbb {R}$ y así por el teorema de Baire el conjunto

$$B = \bigcup_ {n \in\mathbb {N}} F(n) = \{ x \in \mathbb {R} : g(x) < + \infty\ }$$

es escaso. Pero $ \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ es un subconjunto no muy amplio de $ \mathbb {R}$ .