Hay un midsphere teorema de 4 polytopes?

Question

El (notable) midsphere teorema dice que cada uno de combinatoria tipo de poliedro convexo puede ser realizado por uno de cuyos bordes son tangente a una esfera (y la realización es único, si el centro de gravedad se especifica).
          

Q1. Hay un teorema análogo para 4-polytopes, que cada combinatoria tipo puede ser realizado por un polytope con crestas (o bordes?) tangente a una 3-esfera?

Debido a que las pruebas de la midsphere teorema de confiar en el Koebe–Andreev–Thurston círculo de embalaje teorema, una consulta es:

Q2. Hay una generalización del círculo de embalaje el teorema de la esfera de embalaje?

Ambas preguntas pueden ser generalizados a la dimensión arbitraria.

Sospecho que la respuesta a ambas preguntas pueden ser No, en el que caso de que un puntero sería suficiente. Gracias!

Answer 1

Estimado Juan,

Que yo recuerde todos los intentos de extender la midsphere y teorema de la bola de embalaje teorema de 4 polytopes resultó ser falso. Recuerdo discutiendo con Oded Schramm, e incluso muy sencillo casos de Q2 como para apilar 4-polytopes o para las pirámides de más de 3 polytopes no funciona. De alguna manera el número de grados de libertad para los vértices de 4-polytopes o superior no es suficiente. (E incluso si se consideran casos especiales donde el número de grados de libertades está bien todavía los teoremas no se extienden.)

Una extensión posible me gustaría ver es darse cuenta generalizada de 5 polytopes para todos la 2-caras tangentes a una esfera, donde estos generalizada de los gadgets cada "borde" no es un steight de la línea de borde, pero usted puede doblar (digamos que con 4 grados de libertad). Pero por mucho que me alegra ver como una generalización razonable formulado lo haría inmediatamente supongo que es falso...

Answer 2

Los resultados no hay que generalizar, y se sabe muy poco. No obstante, es posible que desee echar un vistazo en:

MR1393382 (97k:52022) Cooper, Daryl(1-UCSB); Rivin, Igor(4-WARW-MI) Combinatoria escalar de curvatura y la rigidez de la bola de envases. De matemáticas. Res. Lett. 3 (1996), no. 1, 51-60. 52C15 (57M50)

También puede que desee echar un vistazo en:

MR2183490 (2009a:11090c) Graham, Ronald L.(1-UCSD-CS); Lagarias, Jeffrey C.(1-MI); Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.(1-ATT3); Yan, Catherine H.(1-TXAM) Apolíneo círculo de envases: la geometría y la teoría de grupos. III. Dimensiones superiores. (Resumen en inglés). Discretos Comput. Geom. 35 (2006), no. 1, 37-72. 11E57 (11H55 52C26)

Answer 3

En un trabajo reciente de Padrol y yo, hemos estudiado varias generalizaciones de este problema. http://arxiv.org/pdf/1508.03537v1.pdf

Con respecto a Q1, Yoav ya se ha mencionado Schulte del trabajo, y Gil mencionó que apilan polytopes no funciona. De hecho,

Para cualquier 0 ≤ k ≤ d − 3, no se apilan d-polytopes que no son k-scribable.

Pero el otro lado de la historia es mucho más alegre:

Cada apilados polytope es (d − 1)-scribable (es decir, circumscribable) y (d − 2)-scribable (es decir, ridge-scribable). Doblemente, esto significa que cada trunca polytope es el borde scribable y grabables. En particular, el $1$-esqueleto de cada trunca polytope es el de tangencia gráfica de una esfera de embalaje.

También se estudió la débil scribabilities, también se menciona en Schulte del trabajo.

Lo más interesante de generalización (que me gustaría hacer algún anuncio aquí) es el $(i,j)$-scribability problema:

Podemos darnos cuenta de todos los $d$-polytope con todos los $i$-caras "fuera" de la esfera y todos los $j$-caras "intersección" de la esfera, $0\le i \le j \le d-1$?

El caso de $i=j$ es sólo el clásico scribability problema. Para $i<j$, hemos construido ejemplos en el que no realización para todos, pero dos casos: $j-i=d-2$ por extraño $d$ o $j-i=d-1$ cualquier $d$.

Answer 4

En el papel de "Análogos de Steinitz del teorema acerca de la no-grabables polytopes" por E. Schulte, que sale de la colección "Intuitiva de la Geometría" de 1987, el autor parece demostrar un resultado negativo para todos los casos, a un lado de la cubierta por el midsphere teorema.

El autor define: "Vamos a $d$ e $m$ ser números naturales con $d\ge2$ e $0\le m\le d-1$. Un convexo $d$-polytope $P$ se llama $(m,d)$-scribable ... si hay un isomorfo copia de $P'$ de % de $P$ de manera tal que todas las caras de $P'$ de la dimensión de $m$ son tangentes a algunos Euclidiana $(d-1)$-esfera $S$." Isomorfo parece significar que de la misma combinatoria tipo.

Teorema 3 es: "Vamos a $d\ge3$, $0\le m\le d-1$, y $(m,d)\neq(1,3)$. Entonces, hay una infinidad de $(m,d)$-nonscribable convexo $d$-polytopes."

En una nota añadida en la prueba, el autor dice que, según los informes, P. McMullen también se obtuvieron algunos de los mismos resultados de forma independiente.

Answer 5

Hace poco me mostraron que:

La gráfica de una apilada $4$-polytope es $3$-bola de packable si y sólo si no contiene seis $4$-camarillas compartir un $3$-clique.

Mientras Eppstein, Kuperberg y Ziegler 2003 demostró que

No apilar 4-polytope con más de 6 vértices es el borde de la tangente.