En un teorema de Galois

Question

Actualmente soy docente de teoría de Galois y esta semana, como he mencionado, el siguiente teorema de Galois :

Deje $P(x) \in \mathbf{Q}[x]$ ser un polinomio irreducible de primer grado. A continuación, $P$ es soluble por radicales si y sólo si la división de campo de la $P$ es generado por cualquiera de las dos raíces de la $P$.

Me preguntaron por un estudiante si este teorema se puede generalizar a los polinomios cuyo grado es compuesto, tal vez permitiendo la división de campo a ser generados por más de dos raíces. Sé que la prueba de Galois del teorema se basa en la determinación de la solución subgrupos de $\mathfrak{S}_p$, pero no sé lo suficiente del grupo de teoría de decirle lo que puede ser demostrado en el caso de que el grado del polinomio es compuesto, decir $pq$ donde $p$ e $q$ son (posiblemente igual) de los números primos.

Hace una generalización del teorema de Galois existen? O es que hay un concepto en razón de por qué una generalización no puede sostener? En el último caso, ¿ ya existen generalizaciones del teorema de Galois, posiblemente en diferentes direcciones?

Answer 1

La pregunta indaga acerca de la relación de las propiedades 1. y 3., aunque posiblemente la intención del significado de 1. fue 2.:

1. La división de campo de la $P$ es generado por dos raíces de $P$.
2. La división de campo de la $P$ es generado por cualquiera de las dos raíces de la $P$.
3. El grupo de Galois $G$ de % de $P$ es solucionable.

En el primer grado del caso, las tres propiedades son equivalentes.

Para arbitrario grados, 1. es un débil condición, de modo que no dicen mucho acerca de la solvencia de $G$. Condición 1. también es mucho más débil que el 2. A pesar de su debilidad, 3. no implica 1. De hecho, para cada uno de los primer grado $n\ge6$, no es un tema solucionable grupo $G$ grado $n$ para que: 1. no se sostiene. De hecho, es fácil construir ejemplos explícitos para todos los grados: Vamos a $n=rs$ con $r\ge3$, $s\ge2$. A continuación, para el adecuado racional $a,b$, el polinomio $P(X)=(X^s-b)^r-a$ no cumple 1.

Así que vamos a olvidarnos de 1. Además, este ejemplo muestra que el 3. está lejos de lo que implica 2.

La pregunta sigue siendo si los 2. implica 3. De hecho, se trata de cerrar:

Si $n=\deg(P)\not\equiv1\pmod{120}$, y la división de campo de la $P$ no es generado por una raíz (ver Kevin Ventullo del comentario anterior), entonces 2. implica 3.

La razón de esto es como sigue: 2. dice que $G$ es un Frobenius grupo. Por Frobenius Teorema de, $G$ es un semidirect producto de una normal subgrupo $N$ y un punto de estabilizador $H$, llama la Frobenius complemento. Por Thompson Teorema, $N$ es nilpotent, así, en particular, solucionable. ¿Qué acerca de la $H$? Por una vieja resultado de Zassenhaus, $H$ es solucionable, o su serie de derivados de subgrupos termina en $\text{SL}(2,5)$, un grupo de orden $120$. Como $n=\lvert N\rvert$, e $H$ tiene regular órbitas en $N\setminus\{e\}$, tenemos lo que puse arriba.

En cuanto a los excluidos grados: El más pequeño de los candidatos de grado $121$ existe grupo de teoría: $\text{SL}(2,5)$ tiene una acción sobre el distinto de cero elementos de $\mathbb F_{11}^2$, produciendo un Frobenius grupo $\mathbb F_{11}^2\rtimes\text{SL}(2,5)$. Por un resultado de Jack Sonn (ver aquí), cada finito Frobenius grupo es un grupo de Galois sobre los racionales. Por lo tanto hay una irreductible $P(X)$ grado $121$ para los 2. tiene, sino 3. no.

Añadido (en respuesta a François, pregunta en su comentario a continuación): Este número mínimo de raíces que generan la división de campo es el tamaño de una mínima base de la permutación grupo $G$. Una base de un grupo de permutación es un subconjunto de los puntos que el grupo actúa en cuyo elementwise estabilizador es trivial. Si usted toma la corona de producto $G=C_2\rtimes C_m$, en su acción natural en $2m$ puntos, este número es $m$. Así que incluso si el grado es un producto de dos primos, el mínimo tamaño de base puede ser arbitrariamente grande.

Las cosas son mejores si $G$ es primitivo y solucionable: Entonces el mínimo tamaño de base es en la mayoría de las $4$. Consulte aquí para obtener más resultados en un mínimo de bases.