cómo convertir la categoría de complejos de cadena en una $\infty$ -categoría

Question

Me gustaría tener algunos ejemplos sencillos de cuasicategorías para entender mejor algunos conceptos y uno de los más básicos (para mí) debería ser la categoría de complejos de cadena.

¿Alguien ha escrito alguna vez (de forma más o menos explícita) cómo es el conjunto simplicial correspondiente a la cuasi-categoría asociada a la categoría de complejos de cadenas (digamos no limitados) en una categoría abeliana?

No busco una mejora de la categoría derivada ni nada parecido, estoy pensando en la categoría infinita, mucho más simple, en la que los morfismos superiores corresponden a homotopías entre complejos. Entiendo que la categoría derivada debería entonces construirse como una localización de esta $\infty$ -categoría.

Supongo que mi problema radica en el nervio coherente para las categorías simpliciales.

Answer 1

Como todo el mundo ha dicho, hay una cosa obvia que hacer. Como cita Yosemite Sam, se hace en la Sección 13 de la versión ArXiv de DAG I -- se piensa en los complejos de cadenas como enriquecidos sobre conjuntos simpliciales a través de Dold-Kan, y luego se aplica la construcción del nervio.

Pero hay una cosa explícita que se puede hacer para cualquier categoría de DG, y me parece útil porque se da en términos de fórmulas. Además, hay una forma obvia (aunque tediosa) de generalizar esta fórmula para cualquier $A_\infty$ -categoría por lo que es algo genial de saber. Está en la última versión (febrero 2012) de Álgebra Superior. Dado que los complejos en cadena obviamente forman una categoría dg, este método explícito podría ser lo que estás buscando en caso de que quieras producir algunos símiles en tu cuasi-categoría.

En concreto, la construcción 1.3.1.6 dice cómo obtener una cuasicategoría a partir de cualquier categoría dg. Entonces la Construcción 1.3.13 y la Observación 1.3.1.12 deberían convencerte de que es equivalente a la construcción "Dold-Kan + nervio simplicial" citada por todos los demás. (Lurie resume esta equivalencia en la Proposición 1.3.1.17.) Escribiría aquí las fórmulas, pero no quiero volver a discutirlas. Así que aquí está al menos un enlace a la última álgebra superior.

Answer 2

Para cualquier categoría de modelo simplicial $C$ , dejemos que $C^0$ denotan la subcategoría completa en sus objetos fibrados y cofibrados. Puede considerarse como una categoría simplicial a través de su enriquecimiento simplicial. A través de los axiomas de esquina para este enriquecimiento, se deduce que los Hom-complejos de $C^0$ son complejos de Kan, por lo que $C^0$ es una categoría simplicial fibrante en la estructura del modelo de Bergner sobre categorías simpliciales. A continuación se aplica el nervio coherente de homotopía a $C^0$ como usted sugiere. Como es el par derecho-Quillen de la equivalencia de Quillen entre la estructura del modelo de Bergner sobre categorías simpliciales y la estructura del modelo de Joyal sobre conjuntos simpliciales, el resultado, $N_{hc}\left(C^0\right)$ será un conjunto simplicial fibrante en la estructura de Joyal, es decir, una cuasi-categoría.

Answer 3

[ Edición: La sección 13 de DAG tenía todo lo que buscaba http://arxiv.org/pdf/math/0608228v5.pdf ]

Creo que ahora entiendo parcialmente el porqué de mi confusión (agradezco la respuesta de David por aportar una perspectiva más culta, seguro que me será útil en cuanto intente entender las categorías estables/derivadas)

El $\infty$ -se debe obtener un complejo de vértices $A,B, \ldots$ las 1-simplicidades vienen dadas por los mapas en cadena $A \to B$ los 2-símbolos están dados por los mapas $A \to B \to C, A \to C$ (no necesariamente conmutables) junto con una homotopía, los 3-símbolos están dados por los mapas $A \to B \to C \to D, A \to C, B \to D, A \to D$ junto con una homotopía y homotopías entre homotopías y así sucesivamente (tal vez me equivoque en algo pero se entiende la idea).

Estoy bastante seguro de que esta es la construcción del nervio coherente para las categorías simpliciales, pero necesito entenderlo mejor primero.

Esto debería dar lo correcto, un $\infty$ -aumento de la categoría de complejos tal que $\pi_0$ de la misma es la categoría de homotopía de los complejos (por lo que no se han dañado resoluciones ni categorías modelo en el proceso).

Si alguien corrige y/o tiene una mejor forma de escribir esto, por favor, hágalo.