Dado $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $\pi(n)$ denotan el número de números primos $\leq n$ . ¿Qué es? $$ \limsup_{m \rightarrow \infty} \left( \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\pi(n+m) - \pi(n)}{\pi(m)} \right)? $$ Si es necesario, las respuestas pueden ser condicionales bajo el supuesto de que una generalización adecuada de la Conjetura de Bunyakovsky se mantiene.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como observan Hensley y Richards en
Douglas Hensley e Ian Richards , Primas en intervalos , Acta Arith. 25 (1973-74), 375--391,
si la conjetura de las tuplas primarias es cierta, entonces $\limsup_{n \to \infty} \pi(n+m) - \pi(n) = \rho^*(m)$ , donde $\rho^*(m)$ es la longitud $k$ de los mayores admisibles $k$ -tupla de diámetro inferior a $m$ (a $k$ -es admisible si evita una clase de residuo módulo $p$ para cada primo $p$ ). Así que su cantidad sería entonces igual a $\limsup_{m \to \infty} \rho^*(m)/\pi(m)$ que también se ve fácilmente que es igual a $\limsup_{k \to\infty} k \log k / H(k)$ , donde $H(k)$ es el diámetro mínimo de un admisible $k$ -tupla.
Los límites superior e inferior más conocidos para $H(k)$ puede encontrarse en la sección 3 de la versión (no resumida) del documento Polymath8a . El mejor límite superior asintótico conocido es $k \log k + k \log\log k - (1+2 \log 2) k + o(k)$ (debido a Schinzel), y la mejor cota inferior asintótica es un poco complicada de enunciar (viene de la versión aguda de Montgomery-Vaughan del gran tamiz) pero es aproximadamente de la forma $\frac{1}{2} k \log k - o(k \log k )$ . Así que lo mejor que se sabe de su cantidad es (como se ha señalado en los comentarios) que está entre $1$ y $2$ . (No es necesario obtener los mejores resultados en $H(k)$ para estos límites: el límite inferior proviene de la observación de que el primer $k$ primos mayores que $k$ son automáticamente admisibles, mientras que el límite superior se deduce de (la demostración de) la desigualdad de Brun-Titchmarsh). A partir de los valores numéricos conocidos y de los límites para $H(k)$ (ver esta base de datos en línea así como las figuras 2 y 3 del artículo de Polymath8a mencionado anteriormente) se puede conjeturar tentativamente que su cantidad es igual a $1$ pero las pruebas no son todavía muy sólidas para esta conjetura. Mejorar el límite superior de $2$ sería un gran avance en la teoría de los tamices (estrechamente relacionada con el problema de la paridad), y es una de las motivaciones del naciente campo de la "teoría inversa de los tamices", discutida en
Ben Green y Adam J. Harper , Preguntas inversas para el gran tamiz , Geom. Funct. Anal. 24 (2014), no. 4, 1167--1203.
El límite superior de $2$ es incondicional (se deduce directamente de Brun-Titchmarsh ). Ningún límite inferior incondicional no trivial (más allá del límite trivial de $0$ ); el mejor resultado es el de Maynard en
James Maynard , Pequeños espacios entre primos , Ann. de Matemáticas. (2) 181 (2015), nº 1, 383--413
con constantes implícitas ligeramente mejores obtenidas por el proyecto Polymath8b
D. H. J. Polymath , Variantes del tamiz de Selberg, e intervalos acotados que contienen muchos primos , Res. Math. Sci. 1 (2014), Art. 12, 83,
básicamente mostrando que $\limsup_{n \to \infty} \pi(n+m) - \pi(n) \gg \log m$ . Se sabe que este es el límite del método de tamizado de Selberg existente para producir incondicionalmente muchos primos en intervalos cortos; llegar más allá del $\log m$ sería un avance significativo (aunque creo que romper el límite superior de paridad de $2$ mencionado anteriormente sería aún más revolucionario).
Hay que tener en cuenta que hasta el famoso y reciente avance de Zhang en
Yitang Zhang , Espacios limitados entre primos , Ann. de Matemáticas. (2) 179 (2014), no. 3, 1121--1174.
ni siquiera se sabía incondicionalmente que $\limsup_{n \to \infty} \pi(n+m) - \pi(n)$ era mayor que $1$ para cualquier $m$ .
EDIT: Ben Green me señaló una observación de Selberg en el Vol. I de sus "Collected works" (página 610 en la nueva edición) de que no se pueden obtener mejoras efectivas de la $1/2$ constante en el límite inferior $H(k) \geq \frac{1}{2} k \log k - o(k \log k)$ sin obtener también límites efectivos en el teorema de Siegel, ya que un cero de Siegel implica la existencia de una progresión aritmética de tamaño medio con aproximadamente el doble de primos de lo que se esperaría sin el cero. Esto conduce a una k-tupla admisible que también es aproximadamente el doble de densa de lo esperado. Por lo tanto, el límite superior de 2 en la pregunta original es poco probable que se mejore sin algún tipo de avance en el problema del cero de Siegel (o bien alguna extensión masiva del fenómeno de repulsión).
