Aquí están algunos preliminares. Vamos a empezar con un tema genérico:
Para disponer de los exponentes $1\le p_1\le \dots\le p_r$ e $q_1,\dots,q_r$, de cómo
escribir la segunda derivada de la función $$F(x):=\log\prod_{j=1}^r (1-x^{p_j})^{-q_j}=-\sum_{j=1}^r q_j \log(1-x^{p_j }),\qquad x\in(0,1) $$ sin abrir
la caja de Pandora de los derivados de los cocientes?
Observe que la anterior $F$ no tiene términos de $1+x^p$, sin embargo, por supuesto, nos puede escribir a cualquiera de ellos como ${1-x^{2p}\over 1-x^p}$, por lo que esta formulación incluye realmente el problema. Precisamente, en su situación, $r=7$, e $p:=(2n,2n+1,2n+2,4n-1,4n,4n+2,8n-2)$ con $q:=(+1,-2,+1,+1,-1,+1,-1)$ -sólo para la diversión que se puede pensar que estos datos como describiendo $7$ punto de cargos de $q_j$ situados en las posiciones $p_j$.
Para describir más claramente la dependencia de $(p,q)$ es conveniente introducir, por $s>0$, la función
$$\varphi(s):=-\log(1-e^{-s})\ .$$
Luego, con los datos de $(p,q)$, considere la posibilidad de
la distribución de $m\in\mathcal{D'}(\mathbb{R}_+)$ definido por $f\mapsto\langle m,f\rangle:= \sum_{j=1}^r q_j f(p_j)$, sólo una combinación lineal de las evaluaciones en puntos de $p_j$:
$$m:=\sum_{j=1}^r q_j\delta_{p_j}.$$ Introducing a parameter $t>0$, we then have a function $\Phi=\Phi_m$ defined by the pairing w.r.to the variable $s\in\mathbb{R}_+$:
$$\Phi(t) :=\big
\langle m, \varphi(ts) \big\rangle_s =-\sum_{j=1}^r q_j \log(1-e^{-p_jt}),$$
así que para $0<x<1$ la función de $F=F_m$ escribe
$$F(x)=\Phi(-\log x).$$
Desde $F''(x)={1\over x^2}\big(\Phi''+\Phi')(-\log x),$ estamos interesados en $\Phi''(t)+\Phi'(t)$, que es
$$(\Phi"+\Phi')(t)=\big
\langle m, (\partial_t^2+\partial_{t})\varphi(ts)\big\rangle_s$$
La integración por partes
$$=-\big
\langle \chi_{\mathbb{R}_+}*m, \ \partial_s(\partial_t^2+\partial_{t})\varphi(ts)\big\rangle_s=\big\langle m_1, \kappa(t,s)\big\rangle_s ,$$
con
$$\kappa(t,s):=-\partial_s(\partial_t^2+\partial_{t})\varphi(ts)=-\partial_s\big(s^2\ddot\varphi(ts)+s\dot\varphi(st)\big)$$
$$=-ts^2 \dddot\varphi(ts)-(2s+ts)\ddot\varphi(ts)-\dot\varphi(ts)= $$
$$={\frac { \left( t{s}^{2} -ts-2\,s+1 \right) {{\rm e}^{2\,ts}}+ \left( {
s}^{2}t+ts+2\,s-2 \right) {{\rm e}^{ts}}+1}{ \left( {{\rm e}^{ts}}-1
\right) ^{3}}}
$$
y
$$m_1:=\chi_{\mathbb{R}_+}*m=\sum_{j=1}^rq_j (\chi_{\mathbb{R}_+}*\delta_{p_j})=\sum_{j=1}^rq_j \chi_{[p_j,+\infty)} =\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{i=1}^j q_i\right) \chi_{[p_j,p_{j+1})} $$
(donde pusimos $p_{r+1}:=+\infty$). En el caso de nuestra $7$ punto de cargos, esto es
$$m_1:=\chi_{[2n,2n+1]} { -} \chi_{[2n+1,2n+2]}+\chi_{[4n-1,4n]} +\chi_{[4n+2,8n-2]}. $$
En resumen, tenemos la representación de la segunda derivada, para $0<x<1$ e $t:=-\log x$:
$$F''(x)={1\over x^2}\int_0^{+\infty}\kappa(t,s)m_1(s)ds.$$
Por supuesto, uno sería feliz de tener tanto $m_1$ e $\kappa$ positivo. La idea, entonces, sería el cambio de la representación mediante una identidad
$$\langle \mu,\kappa\rangle=\langle {^{t}L}^{-1}\mu, L\kappa\rangle,$$
la elección de un adecuado invertible operador $L$.
Esto me dio un poco de esperanza de obtener una respuesta rápida basada en una fórmula integral para $F''$. Por ejemplo, la elección de $L:=I-H$ con $$Hf(t):={1\over2}f({t\over2})$$ makes $^{t L}^{-1}\mu$ positive, but, unfortunately, not everywhere positive $L\kappa$.
