Me gustaría saber si hay compacto (n-1)-colectores $N$ que no son esferas, sino que hay un colector con límite de $M$ que satisface las siguientes dos propiedades:
$\partial M\cong N$
$M-\partial M\cong \mathbb{R}^n$
Estoy principalmente interesado en esta cuestión en la categoría de suave colectores, pero me interesaría saber la respuesta en la topológico caso así.
$N$ tiene que ser un homotopy-esfera. Así que, mientras que la dimensión no es $4$, hay una prueba de que tiene que ser el estándar $S^{n-1}$.
Estos argumentos aparecen en el Kosinski libro de la fluidez de los colectores. La idea básica es similar a esto.
1) $N$ es simplemente conectado. Hay la inclusión del mapa de $N \to M$, pero si $p \in int(M)$, entonces también hay una retracción del mapa de $M \setminus \{p\} \to N$. Siempre $n \geq 3$ eliminación de un punto de no afectar el grupo fundamental.
2) $N$ es una homología esfera por Alexander/la dualidad de Poincaré de los par $(M,N)$. La parte (1) técnicamente nos da esto, pero este argumento funciona incluso si $M$ no contráctiles.
Así que por el teorema de Whitehead, $N$ es un homotopy esfera. Por otra parte, $M$ es un contráctiles colector cuyo límite es un homotopy esfera. Por lo $M$ es un disco por el h-cobordism teorema, y el disco tiene un único suave estructura (no se sabe en la dimensión $5$ todavía).
De modo que resuelve todos los casos, excepto en $dim(N)=4$.
La respuesta está en el hecho dado en la pregunta Misha los enlaces en su comentario. La integridad, la quería dar los detalles en un comentario, pero que se hizo demasiado largo, por lo que la convirtió en esta respuesta. La idea es la misma que en Ryan Budney la respuesta, pero los argumentos son un poco más detallada y directa. Pido disculpas por la repetición. Por favor upvote Misha del comentario, la respuesta que vincula a, y Ryan Budney la respuesta.$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\int}{\operatorname{int}}$
Edit: tengo un poco refinado, el argumento por debajo de lo que pasa cuando el interior de la suave colector $M$ es sólo homeomórficos a $\RR^{n+1}$, no necesariamente diffeomorphic. Por cierto, este supuesto más débil no hace ninguna diferencia al $n\neq 3$, como la unicidad (hasta diffeomorphism) de estructuras diferenciables en $\RR^{n+1}$ implica que el interior de $M$ es en realidad diffeomorphic a $\RR^{n+1}$. De manera más fácil, más elemental argumento a continuación asumiendo el interior de $M$ es diffeomorphic a $\RR^{n+1}$ es suficiente cuando de $n\neq 3$.
La respuesta final es: si un compacto liso colector $M$ interiores homeomórficos a $\RR^{n+1}$, entonces su límite de $\partial M$ es diffeomorphic a $S^n$, mientras $n>4$. En la dimensión $n=4$, podemos obtener sólo un homeomorphism entre el límite y $S^n$ mediante el uso de Freedman h-cobordism teorema lugar de la suave h-cobordism teorema en el argumento de abajo. Todavía podemos obtener un diffeomorphism en la dimensión $n=3$, por el recientemente demostró original de la conjetura de Poincaré.
El argumento es el siguiente. Es más sencillo cuando el interior es en realidad diffeomorphic a $\RR^{n+1}$, así que vamos a suponer que en el primero. Deje $M$ ser un equipo compacto liso colector de interior diffeomorphic a $\RR^{n+1}$. Luego retirar el interior de la cerrada de la unidad de disco $D$ de $\RR^{n+1}$ (que podemos identificar con el interior de $M$), obtenemos un suave cobordism $N=M\setminus(\int D)$ entre $\partial M$ e $\partial D=S^n$ (el límite de la quita de disco).
Por un lado, la inclusión de $\partial D=S^n$ a $N$ es un homotopy de equivalencia, como $N$ es realmente homotopy equivalente a $N\setminus \partial M=\RR^{n+1}\setminus(\int D)$ (desde $\partial M$ tiene una pone collares en $M$ y por lo tanto en $N$).
Por otro lado, la inclusión de $\partial M$ a $N$ es también un homotopy de equivalencia. De nuevo, tenga en cuenta que $\partial M$ tiene un collar en $N$, y el complemento de este collar es compacto en el interior de $M$, es decir, en $\RR^{n+1}$. Así lo empuja hasta el infinito radialmente dentro de $\RR^{n+1}\setminus(\int D)$ (a través de un adecuado homotopy con delimitada de apoyo a partir de la identidad de $\RR^{n+1}\setminus(\int D)$), se obtiene una deformación de " $N$ en el collar de $\partial M$ que corrige $\partial M$ pointwise. A continuación, el collar de $\partial M$ deformación se retrae en $\partial M$, y estas dos deformaciones en conjunto dan una deformación de retracción de $N$ a $\partial M$.
Para modificar el argumento anterior, cuando el interior de $M$ es sólo homeomórficos a $\RR^{n+1}$ a través de una homeomorphism $\varphi:\int M \to \RR^{n+1}$, realice los cambios siguientes:
$N=M\setminus(\int D)$ se define ahora a ser $M$ menos en el interior de un disco está cerrado, $D$ sin problemas incrustado en el interior de $M$. Por lo $N$ es todavía un suave cobordism entre el $\partial M$ e $\partial D$.
Importante, tenga en cuenta que la imagen de $\varphi(\partial D)$ no se necesita ser un estándar de la esfera en $\RR^{n+1}$. Sin embargo, $\varphi(\partial D)$ es localmente plana en $\RR^{n+1}$ (desde $\partial D$ es localmente plana en $\int M$), por lo que el Shoenflies teorema implica que es llevado a un estándar de la esfera en $\RR^{n+1}$ a través de algunos homeomorphism de $\RR^{n+1}$. Mediante la modificación de $\varphi$, entonces podemos asumir que $\varphi(\partial D)$ es el estándar de la esfera de $S^n\subset \RR^{n+1}$.
Desde $\varphi(\partial D)=S^n$ es ahora el estándar de la esfera en $\RR^{n+1}$, podemos aplicar, esencialmente sin cambios, los dos argumentos que demuestran que las inclusiones de $\partial M$ e $\partial D$ a $N$ son de deformación se retrae.
En conclusión, $N$ es un buen h-cobordism entre el $\partial M$ e $\partial D$ donde $\partial D$ es diffeomorphic para el estándar de la esfera de $S^n$. Desde $S^n$ es simplemente conectado, el h-cobordism teorema implica que $\partial M$ es diffeomorphic a $S^n$ al $n>4$. Como se indicó anteriormente, en la dimensión $n=4$, sólo obtendremos una homeomorphism entre el $\partial M$ e $S^n$ por Freedman h-cobordism teorema. En la dimensión $n=3$ podemos utilizar la conjetura de Poincaré en la dimensión 3 (se ha demostrado recientemente) a la conclusión de que la $\partial M$ es diffeomorphic a $S^3$, ya que los colectores son homotopy equivalente a $N$ y por lo tanto a cada uno de los otros. Dimensiones de $n<3$, la clasificación de cerrado $2$-colectores e $1$-colectores de muestra tenemos un diffeomorphism de nuevo.
Por último, tenga en cuenta que la escuela primaria, el argumento anterior (antes de la modificación que requiere Schoenflies teorema) que muestra que el $N$ es un h-cobordism entre el $\partial M$ e $\partial D$ mantiene igual de bien para un topológicos compactos colector $M$ cuyo interior se homeomórficos a $\RR^{n+1}$. A continuación,$\partial M\simeq N\simeq \partial D\cong S^n$. Desde la conjetura de Poincaré tiene topológicamente en todas las dimensiones, llegamos a la conclusión de que el límite de $M$ es homeomórficos a $S^n$.
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