Usted me puede ayudar a demostrar que
$$(x+y)^n\leq 2^{n-1}(x^n+y^n)$$
$n\ge1$ y $x,y\ge0$.
He intentado por inducción, pero no obtener un resultado.
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Anthony Shaw
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858
Usando la Desigualdad de Jensen
Esto es simplemente la Desigualdad de Jensen aplicado a la función convexa $x^n$ $n\ge1$ y un discreto medida. De hecho, esto se puede generalizar para cualquier valor no negativo secuencia $(\alpha_i)$, de modo que $$ \sum_{i=1}^k\alpha_i=1 $$ para obtener $$ \left(\sum_{i=1}^k\alpha_ix_i\right)^n\le\sum_{i=1}^k\alpha_ix_i^n $$ En este caso particular, $k=2$ y $$ (\alpha_i)=\left(\frac12,\frac12\right) $$ los rendimientos $$ \left(\frac{x+y}{2}\right)^n\le\frac{x^n+y^n}{2} $$ que es el mismo que $$ (x+y)^n\le2^{n-1}(x^n+y^n) $$
El uso de la AM-GM de la Desigualdad
Tenga en cuenta que el AM-GM Desigualdad aplicado a $\{\overbrace{x^n,x^n,\dots,x^n}^{k\text{ copies}},\overbrace{y^n,y^n,\dots,y^n}^{n-k\text{ copies}}\}$ rendimientos $$ x^ky^{n-k}\le\frac{kx^n+(n-k)y^n}{n}\etiqueta{AM-GM} $$ Aplicando esto al Teorema del Binomiorendimientos $$ \begin{align} (x+y)^n &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}\\ &\le\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{kx^n+(n-k)y^n}{n}\\ &=x^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k}{n}+y^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{n-k}{n}\\ &=x^n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}+y^n\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\\[6pt] &=2^{n-1}(x^n+y^n) \end{align} $$
Los Valores Negativos
La desigualdad se cumple si $x,y\ge0$ o $n$ es incluso. Las pruebas a las que anteriormente se han escrito suponiendo que $x,y\ge0$; sin embargo, $x^n$ es convexa sobre todas las $\mathbb{R}$ al $n$ es aún, por lo que el Jensen prueba funciona como es. Además, si $n$ es incluso, cambiando el signo de $x$ y/o $y$ deja el lado derecho de la $\text{(AM-GM)}$ solo (y positivo), pero podría cambiar el signo de la izquierda, el lado negativo. En cualquier caso, $\text{(AM-GM)}$ tiene para todos los $x,y\in\mathbb{R}$ al $n$ es incluso.
runeh
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1304
Observe que la ecuación es equivalente a $$\left(\frac{x+y}{2}\right)^n\le \frac{x^n+y^n}2$$
Y esto se puede probar por inducción (con las debidas restricciones para evitar la multiplicación de una desigualdad por un número negativo) siempre $$\frac{(x^n+y^n)}2\frac{(x+y)}2\le\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}2$$ and this reduces to $$x^{n+1}+y^{n+1}-xy^n-x^ny\ge 0$$ or $$x^n(x-y)-y^n(x-y)\ge0 $$
o $$(x^n-y^n)(x-y)\ge 0$$ Y usted probablemente puede completar los detalles de allí.
Nota: en respuesta al comentario de uso de la hipótesis inductiva de la siguiente manera:
$$\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n+1}\le\frac{(x^n+y^n)}2\frac{(x+y)}2\le\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}2$$
La primera desigualdad proviene de la hipótesis, la segunda nos de $n$ $n+1$si podemos demostrarlo.
Mira. Yo también he probado a hacerlo por inducción. Es obvio que para $n=1$$n=2$. Suponga que tiene también para $n$. Vamos a demostrar que la desigualdad de la $n+1$: $$ 2^n(x^{n+1} + y^{n+1}) - (x+y)^{n+1} = 2^{n} x^{n+1} + y^{n+1}) -(x+y)^n(x+y)\geq 2^n(x^{n+1} + y^{n+1}) - 2^{n-1}(x^n + y^n)(x+y) = 2^{n-1}(x^{n+1} + y^{n+1} - x^ny - y^nx) = 2^{n-1}(y(y^n - x^n) + x(x^n - y^n))= 2^{n-1}(y^n-x^n)(y-x) = 2^{n-1}(y-x)^2(y^{n-1}+xy^{n-2}+x^2y^{n-2}+\dots+y^2x^{n-2} + x^{n-1}) \geq 0. $$ Así hemos demostrado que $2^n(x^{n+1} + y^{n+1}) - (x+y)^{n+1} \geq 0$. Es similar a $(x+y)^{n+1} \leq 2^n(x^{n+1} + y^{n+1})$
daniel
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1049
Aunque ya tenemos una matriz de soluciones con una variedad de enfoques distintos, me ha sorprendido que nadie haya utilizado el posiblemente el método más fácil de maxima.
Con la no negatividad de las suposiciones $x,y\geq0$ podemos usar el max-propiedades de $\max(x,y) \leq x+y$$\max(x,y)^n = \max(x^n,y^n), n \in \mathbb{N}$, para obtener la siguiente lineal/cálculo/motivación de la prueba.
$ \hspace{0.5 cm}2^{n-1}(x^n + y^n) \\ \geq 2^{n-1} \cdot\max(x^n,y^n) \hspace{3cm}\text{---desde $x^n,y^n\geq0$} \\ = \frac{1}{2} \cdot 2^n \cdot \max(x^n,y^n) \hspace{3cm}\text{ ---aritmética}\\ = \frac{1}{2} \cdot 2^n \cdot \max(x,y)^n \hspace{3cm}\text{ --- desde $x,y,n\geq0$}\\ = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \max(x,y))^n \hspace{3cm}\text{ ---potencias}\\ = \frac{1}{2} \cdot (\max(x,y) +\max(x,y))^n \hspace{1.5 cm}\text{ ---aritmética}\\ \geq \frac{1}{2} \cdot (x+y)^n \hspace{2.5 cm}\text{---desde $x,y \leq \max(x,y)$ y no negativo poderes preservar el orden}\\ = \frac{(x+y)^n}{2} \hspace{5cm}\text{---notación} $
Tenga en cuenta que hemos empezado con la expresión compleja con el objetivo de ${\bf simplifying}$. Como resultado, tenemos ${\bf discovered}$, en lugar de $\textit{verified}$, el resultado!
Nota que la prueba demuestra que el resultado se cumple para cualquier valor no negativo reales $x,y$ y cualquier entero $n\geq0$.
De hecho, la motivación, el descubrimiento es mejor que el de verificación.
Saludos cordiales,
Moisés
EDIT :: algo anda mal; tenemos una fracción adicional al final ... si alguien puede explicar dónde me he equivocado, me gustaría ser más agradecido!
$\vdots$
Así, hemos demostrado a $(x+y)^n \leq 2^n(x^n+y^n)$ y esto se deduce de lo que tenía que demostrar $\ldots$
