¿Por qué sólo las ondas sinusoidales?

Question

Ya he leído algunos textos de EE donde se ve a menudo una onda sinusoidal.

¿Por qué la onda sinusoidal se utiliza a menudo como una función de prueba para un circuito o un sistema? ¿Por qué no usamos ninguna otra señal en lugar de la sinusoidal?

¿Usamos las ondas sinusoidales como señal de prueba por el hecho de que son comunes, (por ejemplo, la energía de CA)?

Answer 1

Porque las sinusoides tienen algunas propiedades matemáticas importantes. La primera es cómo se comportan con la diferenciación y la integración.

$$\frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi) = \omega\cos(\omega t+\varphi) = \omega\sin(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})$$

En otras palabras, cuando diferenciamos o integramos una sinusoide obtenemos una sinusoide de la misma frecuencia. Las sinusoides son las únicas funciones periódicas (de los reales a los reales)* para las que esto es cierto.

La segunda es cómo se comportan bajo la adición. Dos sinusoides de la misma frecuencia pero de diferente fase se suman para dar lugar a una sinusoide de la misma frecuencia (a menos que sean iguales y opuestas, en cuyo caso se cancelan para dar lugar a cero).

$$a\sin(\omega t)+b\sin(\omega t+\theta)= \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \theta} \sin(\omega t+\operatorname{atan2} \left( b\,\sin\theta, a + b\cos\theta \right))$$

Estas propiedades significan que cuando introducimos una sinusoide en un sistema lineal invariante en el tiempo, obtenemos una sinusoide de la misma frecuencia. Muchos sistemas del mundo real se comportan, en una primera aproximación, como sistemas lineales invariantes en el tiempo, especialmente para señales pequeñas. Podemos caracterizar un sistema lineal invariante en el tiempo midiendo su magnitud y su respuesta de fase a un barrido sinusoidal y luego podemos predecir su respuesta a otras señales descomponiendo esas señales en combinaciones de ondas sinusoidales y aplicando el principio de superposición.

Si intentáramos hacer una prueba de barrido de frecuencia similar con cualquier otra forma de onda, tendríamos una forma de onda de salida con una forma diferente a la de nuestra forma de onda de entrada, con la que tendríamos que lidiar de alguna manera, haciendo el proceso de caracterización mucho más complicado.

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* Como se ha señalado en los comentarios la exponencial es su propia derivada, pero la exponencial de una variable real no es periódica. La exponencial de una variable real multiplicada por la unidad imaginaria es periódica pero produce un resultado complejo. Si la descomponemos en sus partes real e imaginaria mediante la fórmula de Euler, volvemos a tener un par de sinusoides.

Answer 2

Si aplicamos una señal sinusoidal a un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI), la salida de ese sistema también será sinusoidal, de la misma frecuencia, pero posiblemente de diferente fase y magnitud. Si aplicamos una entrada que puede describirse como una suma de sinusoides, la salida también será la suma de sinusoides de la misma frecuencia, posiblemente de diferente fase y magnitud. Esto hace que sea muy fácil caracterizar el sistema en términos de respuestas de fase y magnitud.

Utilizando las series de Fourier, podemos construir cualquier forma de onda periódica con señales sinusoidales. Esto aumenta el atractivo de utilizar el seno como señal de prueba. Podemos conocer la respuesta de cualquier forma de onda periódica si conocemos la respuesta a una señal sinusoidal.

En cuanto a la segunda pregunta, también se utilizan otras señales, como las de paso y rampa, como entradas de prueba. Sin embargo, estas señales no gozan del privilegio del seno ya que no son valores propios del sistema LTI. La aplicación de una señal de prueba depende de lo que se quiera ver. Por ejemplo, una señal de paso se aplica para ver cómo reacciona la salida a un cambio repentino en la entrada.

Answer 3

Una onda sinusoidal pura es una señal de prueba útil porque tiene una propiedad especial, sólo contiene energía en una sola frecuencia, mientras que otras formas de onda contienen energía en múltiples frecuencias. Así que, dependiendo de lo que se esté probando, se puede utilizar una onda sinusoidal u otras formas de onda.

Con un generador de ondas sinusoidales y una herramienta que pueda medir simplemente la amplitud de la onda sinusoidal (por ejemplo, un multímetro o un osciloscopio), se puede medir la relación entre las amplitudes de salida y de entrada con ondas sinusoidales de diferentes frecuencias para averiguar la respuesta en frecuencia o el ancho de banda de un sistema bajo prueba.

Answer 4

Sólo las ondas sinusoidales no tienen armónicos (espectro de frecuencias en múltiplos enteros de la frecuencia periódica principal), que tienen energía, y por tanto pueden irradiar RF por encima y fuera de la frecuencia fundamental. Ver " Fourier ".

Las pruebas con una onda no sinusoidal también comprueban todas esas frecuencias armónicas, lo que, si no se hace intencionadamente, puede acabar estropeando los resultados de las pruebas.

Añadido: Las señales no sinusoidales también tendrán un ancho de banda elecromagnético mucho mayor, por lo que serán más difíciles de transmitir, eliminar o filtrar (con una banda pasante suficientemente plana o una muesca) con componentes físicos.

Answer 5

Depende de las propiedades del dispositivo bajo prueba que nos interesa.

• Para comprobar la respuesta en frecuencia de un dispositivo o circuito (magnitud y fase) utilizamos una fuente sinusal sintonizable

• Para comprobar la linealidad de un dispositivo a una frecuencia fija para diferentes amplitudes se suele utilizar una forma de onda triangular. Porque es relativamente fácil detectar la calidad de las pendientes de la señal de salida en comparación con la forma de entrada (esperemos) ideal

• Para probar la capacidad de un circuito de amplificar/recuperar un reloj de onda cuadrada sin causar distorsiones inaceptables, estamos utilizando, por supuesto, una señal de reloj de entrada "ideal".