¿El cuantificador existencial único conmuta con el cuantificador existencial?

Question

Dada una función en la que intervienen dos variables, $\mathit p(x,y)$ es la fórmula $$\mathit \exists!x\exists yp(x,y)$$ equivalente a $$\mathit\exists y\exists!xp(x,y)$$ He intentado escribir la definición formal del cuantificador existencial único, pero me quedo atascado simplificando el enunciado cuando el cuantificador único es el primero. También he intentado dar $\mathit p(x,y)$ algún significado y hablar de ello, pero no puedo decidir si significan lo mismo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No, no se desplazan.

Consideremos, por ejemplo, los reales no negativos como un orden lineal. Entonces $$\exists x\exists !y(y\le x)$$ es verdadera (tome $x=0$ ), pero $$\exists!y \exists x(y\le x)$$ es falso ya que para cada $y$ hay algo de $x$ con $y\le x$ .

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Esto resulta menos sorprendente cuando "desempaquetamos" $\exists!$ . Hay varias formas de hacerlo, pero creo que la más sencilla es ver " $\exists !x\varphi(x,...)$ "como abreviatura de " $\exists x\forall z(\varphi(z,...)\leftrightarrow x=z)$ ." Entonces tenemos:

• " $\exists x\exists!y\varphi(x,y)$ "es la abreviatura de $$\exists x\exists y\forall z(\varphi(x,z)\leftrightarrow y=z),$$

• mientras " $\exists!y\exists x\varphi(x,y)$ "es la abreviatura de $$\exists y\forall z[(\exists x\varphi(x,z))\leftrightarrow y=z].$$

Esto tiene un claro ejemplo de intercambio $\forall$ y $\exists$ (de hecho, es incluso más lioso que eso - desempaquetar " $\leftrightarrow$ " ...) por lo que cabe esperar que no sean equivalentes en general.

(Por supuesto, hay otras formas de desempaquetar " $\exists!$ pero todas nos darán la misma imagen general: a pesar de que el símbolo sólo sugiere existencialidad, esconde un cuantificador universal muy importante, por lo que los peligros habituales del $\forall/\exists$ -pasar a $\exists!/\exists$ -conmutación).