Existencia de un subconjunto dado a la dimensión de Hausdorff

Question

Deje $A\subseteq \mathbb{R}$ ser Lebesgue-medible y deje $0<\alpha<1$ ser su dimensión de Hausdorff.

Para un determinado $0<\beta <\alpha$ podemos encontrar un subconjunto $B\subset A$ con la dimensión de Hausdorff $\beta$?

En caso de que esto es cierto, podría proporcionar una referencia para esta afirmación?

Añadido: en Realidad, yo soy feliz si $A$ es compacto.

Answer 1

Primero de todo, $\dim_{H} (A) = \alpha$ fib $ H^k(A)=\infty$ para todos los $k<\beta$ e $H^k(A) = 0$ para todos los $k>\beta$. A continuación, $H^\alpha(A) = \infty$ para todos los $\alpha \in (0,\beta)$.

Si $A$ es cerrado , entonces por el Teorema 5.4 a partir de [1] no es un compacto $K\subset A$ tal que $0<H^\alpha(K)<\infty$.

Más generalmente, si $A$ es Souslin entonces por el Teorema 5.6 a partir de [1] de nuevo, no es un compacto $K\subset A$ tal que $0<H^\alpha(K)<\infty$ (como @SeverinSchraven señalado).

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Si $A$ no es Souslin entonces (al menos asumiendo CA y CH) puede suceder que $H^\beta(B) = 0$ cualquier $B\subset A$ y cualquier $\beta \in (0, \alpha)$. Para justificar esta afirmación me deja agregar adoptar el argumento a partir de un comentario por fedja a una estrecha relación post, donde un interesante artículo [2] también se menciona.

Deje $C$ denotar el estándar del conjunto de Cantor en $[0,1]$ y tome $\alpha = \dim_H(C) = \frac{\ln 2}{\ln 3}$. Tome $\beta \in (0,\alpha)$.

Considerar a la familia $\mathcal E$ de todos los $G_\delta$-subconjuntos $E \subset C$ tal que $H^\alpha(E)=0$. Entonces para cualquier contables de la familia $(E_i)_i\in \mathcal E$ el conjunto $C \setminus \bigcup_{i=1}^\infty E_i$ tiene infinitas $\beta$-dimensional medida de Hausdorff y, en particular, no está vacía.

Suponiendo CA+CH uno puede enumerar la familia $\mathcal E$ el uso de los números ordinales como $\mathcal E = \{E_\gamma : \gamma < \omega_1\}$, donde $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal.

Para cada una de las $\gamma < \omega_1$ tome $x_\gamma \in C \setminus \bigcup_{\lambda < \gamma} E_\lambda$. Ahora que finalmente definen el conjunto $A:= \{x_\gamma : \gamma < \omega_1\}$.

Si $H^\alpha(A)$ fue de cero, entonces uno podría cubrir la $A$ con $E_\gamma$ para algunos $\gamma$ (ver, por ejemplo, el Teorema 1.6 en [1]). Esto contradice la definición de $A$, por lo tanto $H^\alpha(A)>0$.

Ahora si $B \subset A$ e $H^\beta(B)\in (0,\infty)$ entonces $H^\alpha(B)=0$ y, a continuación, existe $\gamma<\omega_1$ tal que $B \subset E_\gamma$, por lo tanto $$ H^\beta(B) = H^\beta(B\cap E_\gamma) \le H^\beta(a\cap E_\gamma) = 0 $$ desde la intersección $A\cap E_\gamma$ es en la mayoría de los contables para cualquier $\gamma < \omega_1$.

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Las referencias.

1. La Geometría de Fractales Establece por K. J. Falconer (1985)

2. Encontrar subconjuntos de medida positiva por Bjørn Kjos-Hanssen y Jan Reimann (2014) https://arxiv.org/abs/1408.1999

Answer 2

La respuesta es sí , bajo la suposición adicional de que el conjunto es compacto y no sé lo que ocurre en el caso general. El resultado es una consecuencia del siguiente, ver [1] y las referencias allí contenidas.

Teorema. Si un conjunto compacto $A\subset\mathbb{R}^n$ no$\sigma$-finito de medida $\mathcal{H}^\beta$, entonces hay una subconjunto $B\subset A$ tal que $0<\mathcal{H}^\beta<\infty$.

[1] R. O. Davies, Un teorema sobre la existencia de no-σ-subconjuntos finitos. Mathematika 15 (1968), 60-62.