Parece ser una sabiduría común en derivados de la geometría algebraica que conmutativa DG-álgebras no son, en general, un buen modelo para los derivados de los anillos, con la razón que se comportan mal en característica positiva.
¿Cuáles son algunos ejemplos de este mal comportamiento? Sé que es desconocido si la categoría de la propiedad conmutativa de la DG-álgebras tiene un buen modelo de estructura, pero hay más en esta diciendo?
En característica cero, el modelo de estructura de la propiedad conmutativa de la dg-álgebras se obtiene mediante la transferencia de la proyectiva modelo de la estructura de los complejos de la cadena, a lo largo de la ajunction entre la libre álgebra functor y el olvido functor. En particular, la debilidad de equivalencias y fibrations se determinan en los complejos de la cadena (cuasi-isomorphims y degreewise surjections).
En característica positiva, un modelo de estructura todavía existe, que está realmente disponible para la propiedad conmutativa de la dg-álgebras sobre cualquier anillo conmutativo: esta fue demostrado por Don Stanley en su preprint Determinar el modelo cerrado de la categoría de estructuras. Sin embargo, este modelo de estructura no es agradable, en el sentido de que fibrations no son necesariamente surjective en positivo grados: débil equivalencias y fibrations no están determinadas por el olvidadizo functor de la propiedad conmutativa de la dg-álgebras a los complejos de la cadena.
De hecho, esta es una encarnación de la más general de la realidad acerca de la posibilidad de transferencia de un modelo de estructura de un modelo de la categoría a su categoría de conmutativa monoids. Un buen criterio para esto se llama conmutativa monoid axioma en el papel de David Blanco Modelo estructuras en conmutativa monoids en general categorías de modelo, y resulta que un criterio de falla por conmutativa dg-álgebras en característica positiva.
Ahora, volviendo a los derivados de la geometría, un buen modelo que funciona en característica positiva es la de simplicial de los anillos, de la que hereda un buen modelo de estructura de cualquier característica. Por otra parte, en característica cero, simplicial anillos se Quillen equivalente a la propiedad conmutativa de la dg-álgebras (equipado con el modelo de la estructura inducida por la de uno de los complejos de la cadena) a través de la Dold-Kan correspondencia.
Me gustaría también señalar que, en característica cero, usando la propiedad conmutativa de la dg-álgebras como afín derivados de las pilas puede ser muy útil para, por ejemplo, el estudio de estructuras geométricas en derivados pilas como desplazado simpléctica estructuras. El papel Cambió simpléctica estructuras por Pantev-Toen-Vaquié-Vezzosi está escrito en este contexto.
En característica cero, por ejemplo, es posible encontrar cdgas describir el racional cohomology $H^{\bullet}(X, \mathbb{Q})$ de un (digamos simplemente conectado) topológica del espacio; este es el punto de partida para Sullivan del enfoque racional homotopy teoría. En característica positiva hay obstáculos para hacer esto a partir de cohomology de operaciones (por ejemplo, la Steenrod operaciones). Se sabe que uno puede solucionar este problema mediante el uso de $E_{\infty}$ álgebras de lugar; véase, por ejemplo, DAG XIII.
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