¿Cuáles son algunos ejemplos del teorema que requieren muy sutil hipótesis?

Question

Me gustaría que exponer y explicar brevemente algunos ejemplos de teoremas tener algunas hipótesis que son (como ya sabemos) realmente necesario en sus pruebas, pero cuyos usos en los argumentos son muy sutiles y difíciles de nota a primera vista. Estoy en busca de hipótesis o condiciones que parecen ser casi ausente de la prueba, pero que en realidad son escondido detrás de una realidad abstracta o los argumentos técnicos. Sería aún más interesante si esta desapercibido hipótesis no se señaló al principio, pero más tarde tuvo que ser añadido en otro artículo o publicación no porque la prueba del teorema estuviera mal, sino porque el autor no se dio cuenta de que esta o aquella condición en realidad estaba jugando un papel detrás de la escena y necesario para ser añadido. Y, por último, un punto extra si esta oculto hipótesis llevó a algunos de los más importantes de desarrollo o avance en el área alrededor del teorema en el sentido de que abre nuevas preguntas o nuevos caminos de investigación. Esta pregunta podría estar relacionado con este otro , pero aviso que no es el mismo que estoy hablando acerca de las sutilezas de la prueba de que no eran exactamente correcta pero incompleta en el sentido de no mencionar que algunos de objeto o resultado tenía que ser de uso tal vez en un muy tangencial manera.

Con el fin de poner un poco de orden en las posibles respuestas y hacer de este post útil para otras personas, me gustaría que dar referencias y, al menos, explicar las sutilezas que ayuda a la hipótesis de ocultar en una primera vista, exponer cómo se relacionan con la prueba real o el método de la prueba, y digo los pasos principales que fueron hechas por la comunidad hasta que esta condición oculta se encontró, es decir, puedes escribir en el hecho de una breve historia sobre la evolución de nuestra comprensión de las sutilezas y los matices que rodean el resultado que usted desea mencionar.

Un muy bien conocido y clásico ejemplo de este fenómeno es la teoría de la geometría clásica griega que, aunque correctamente desarrollado en la famosa obra de Euclides fue encontrado más tarde incompleto axiomatized como hubo algunos axiomas que Euclides usa pero no hizo mención como tal, sobre todo porque estas manipulaciones son tan intuitiva que no eran fáciles de reconocer que estaban siendo utilizados en un argumento. Felizmente, una mejor comprensión de estos axiomas y sus respectivas relaciones lógicas a través de un período de tiempo de estudio y de investigación que dura milenios llevado a la conclusión de que estos axiomas no se menciona explícitamente, pero necesario y para el desarrollo de nuevos tipos de geometría y geométricas diferentes mundos.

Tal vez este es uno (por ser el más clásico y expandido a través de tantos siglos y de las páginas de la investigación) el más conocido, importante y famoso ejemplo de los fenómenos estoy buscando. Sin embargo, también estoy interesado en otros pequeños y más humilde ejemplos de este fenómeno aparecen y se pasa en algunos de los más recientes documentos de trabajo, teoremas, lemas y los resultados en general.

Nota: yo voto por hacer este wiki de la comunidad, ya que parece que esta es la mejor manera de lidiar con este tipo de preguntas.

Answer 1

La convergencia de las condiciones para la serie de Fourier de una función $f:S^1 \to \mathbb{R}$ son un buen ejemplo. La investigación de las condiciones de convergencia para series de Fourier, fue una gran motivación para el Cantor de la teoría de conjuntos y de Lebesgue de la teoría de la medida. Dependiendo de qué tipo de convergencia se desea, las condiciones pueden ser muy sutiles. Por ejemplo, si desea que la serie de Fourier de una función continua a converger pointwise en todas partes, no creo que hay ningún buen conjunto de condiciones necesarias y suficientes conocido. Diversas condiciones suficientes son conocidos, por ejemplo, las condiciones de Dirichlet, que son bastante sutiles.

Hoy en día, creo que en general, se considera que el hecho de pedir la convergencia en todas partes es la "pregunta equivocada"; uno debe preguntar por la convergencia casi en todas partes. A continuación, el más famoso es el teorema de Carleson del teorema de que la serie de Fourier de una función en $L^2$ converge en casi todas partes. La hipótesis aquí es fácil de estado, pero la forma en que la hipótesis se utiliza es sutil. Hay varias evidencias conocido ahora, pero ninguno de ellos es fácil. Nota, por ejemplo, que la prueba de Kolmogorov del primer documento en que se dio un ejemplo de una función en $L^1$ cuya serie de Fourier diverge en casi todas partes.

Answer 2

No hay fórmula de Euler $$V - E + F = 2.$$ de Hoy, no podríamos pensar en la hipótesis de ser especialmente difícil. Pero Lakatos clásico de Pruebas y Refutaciones hace un entretenido por su sutileza.

Answer 3

Este ejemplo ha sido mencionado en otra parte de MO , pero parece que vale la pena reproducir aquí. El resumen de Amnón Neeman papel de Un contraejemplo a una de 1961 "teorema" en álgebra homológica dice:

En 1961, Jan-Erik Roos publicado un "teorema", que dice que en un [AB4∗] abelian categoría, lim¹ se desvanece en Mittag–Leffler secuencias. ... Este es un "teorema" que muchas personas ya han conocido y usado. En este artículo, presentamos un contraejemplo. Construimos alguna extraña abelian categorías, que son, quizás, de algún interés independiente.

Resulta que el teorema puede ser reparado mediante la adición de algunos relativamente débil de la hipótesis de que normalmente están satisfechos en la práctica. Que la necesidad de tal hipótesis aparentemente pasó desapercibido durante tanto tiempo es quizás la evidencia de que son "muy sutil."

Answer 4

Este es uno que he visto de viaje hasta un número de estudiantes de aprendizaje del material: la hipótesis de la admisibilidad (o aceptabilidad - me enteré de esto último, pero el primero parece más común) en el contexto de numeraciones de unario parcial de funciones computables (o equivalente a objetos como c.e. conjuntos).

Resultados como el Arroz del Teorema y el Teorema de Recursión se presentan generalmente para una determinada numeración cuyos detalles se olvidan rápidamente; el lema "todas las numeraciones de trabajo de la misma" se introdujo alrededor de este punto, y es sobre todo cierto. Sin embargo, el derecho a la noción de "razonabilidad" no suele ser obvio, ya que las presentaciones tienden a centrarse en las siguientes dos características de la canónica de numeración $\Phi:=(\varphi_e)_{e\in\mathbb{N}}$:

• La numeración de interpretarse como un parcial de función binaria $\langle e,x\rangle\mapsto\varphi_e(x)$ debe ser computable.

• Para cada unario parcial computable $f$ debe haber algún tipo de $e$ con $f\simeq \varphi_e$.

Por sí solas estas propiedades no son suficientes para conseguir los resultados estándar a aplicar: el habitual extrema contraejemplo es un Friedberg numeración, que es una de numeración de la satisfacción de las dos propiedades anteriores de tal manera que cada parcial computable $f$ tiene exactamente un índice (por lo del Arroz y Teorema el Teorema de Recursión cada fallar básicamente trivialmente).

En su lugar, debemos reforzar la segunda de puntos por encima de la siguiente manera:

• (Admisibilidad aceptabilidad/): Para cada binario parcial computable $f$ hay algunos total computable unario $g$ tal que para cada una de las $e$ tenemos $$f(e,-)\simeq \varphi_{g(e)}.$$

Esto equivale a una especie de "universalidad" de la numeración en cuestión; en términos generales, a todos los demás numeración debe ser traducible en ella. Este resulta ser exactamente lo que necesitamos para deducir todos los resultados básicos acerca de la costumbre de numeración, y, de hecho, tan lejos como soy consciente de que realmente no hay diferencias esenciales entre admisible numeraciones. Por otra parte, una vez que este tipo de universalidad se produce a nosotros como algo importante que es llevado a considerar las comparaciones generales entre las numeraciones de los diferentes sistemas, y esto lleva a varios temas de interés (véase, en particular, Rogers semilattices).

Answer 5

Este no es un ejemplo perfecto, porque el sutil hipótesis en cuestión no eran "desapercibido"; sin embargo, creo que cumple con varios de sus otros criterios. Vamos a definir el "Fuerte teorema de Fubini" para ser la siguiente declaración:

Si $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es no negativa y la de las integrales iteradas $\iint f\,dx\,dy$ e $\iint f\,dy\,dx$ existen, entonces son iguales.

El Fuerte teorema de Fubini se ve bastante inocente, pero sin ninguna capacidad de hipótesis, es independiente de ZFC. Por ejemplo, Sierpinski mostró que el Fuerte de Fubini es falso si la hipótesis continua sostiene.

En la otra dirección, un papel por Joe Shipman investiga una variedad de interesantes hipótesis que implican Fuertes Fubini, por ejemplo, RVM ("la continuidad es un valor real medible"), que es equiconsistent con la existencia de un cardinal medible. Aquí hay otra: Vamos a $\kappa$ denota la cardinalidad mínima de un nonmeasurable conjunto, y deje $\lambda$ denota la cardinalidad de los más pequeños de la unión de medida cero establece que cubre $\mathbb{R}$. Entonces la afirmación de que $\kappa < \lambda$ implica Fuertes Fubini.